求三角函數極大值及極小值?

f(x)=2sin^2x-2sinx+3=2(sinx-(1/2))^2+(5/2)

因-1<=sinx<=1

==>(-1)-(1/2)<=(sinx-(1/2))<=1-(1/2)

==>-3/2<=(sinx-(1/2))<=1/2

==>1/4<=(sinx-(1/2))^2<=9/4

==>1/2<=2(sinx-(1/2))^2<=9/2

==>(1/2)+(5/2)<=2(sinx-(1/2))^2+(5/2)<=(9/2)+(5/2)

==>3<=2(sinx-(1/2))^2+(5/2)<=7

其極大值為7

其極小值為3



2015-02-14 17:26:23 補充：
更正第五行以後

==>0<=(sinx-(1/2))^2<=9/4

==>0<=2(sinx-(1/2))^2<=9/2

==>0+(5/2)<=2(sinx-(1/2))^2+(5/2)<=(9/2)+(5/2)

==>5/2<=2(sinx-(1/2))^2+(5/2)<=7

其極大值為7

其極小值為5/2

2015-02-15 00:18:17 補充：
簡化算式

當配成配方後可視為拋物線,因領導係數為正,表有最低點.

因正弦值域在正負1之間,將值代入,可求極大值.

我的作法 也會跟樓上的一樣 就是用微分 這樣真的可以省去很多時間

恩....樓上的 我想問你 那如果 用微分之後 出來的sinx 比 1 大 或是 比-1 小怎麼辦?

教你更快的做法:
y=2sin^2x-2sinx+3----------用微分法
............2sin^2x，二次方跟前面係數2相乘，次方降一次變成一次方，得到4sinx
............-2sinx，1次方跟前面係數-2相乘，次方降一次變成零次方，得到-2
............常數項不用理它
令4sinx-2=0，得到sinx=1/2，再將sinx代回y式中，得到一值為5/2

將-1帶入y式中會出現最大值，最大值為7

所以最大值=7
最小值=5/2

最大值可寫成max
最小值可寫成min

2015-02-15 18:49:37 補充：
使用微分法，不會用到配方法。

2015-02-18 17:16:01 補充：
樓下的大哥，其實三角函數的sinx如果深入討論，它其實是由無線多個拋物線組合而成，所以sinx一樣可以跟二次函數一樣，用平移的方法，所以出現那些值很正常啊！

莫名其妙！把 sinx 表成 A 有甚麼幫助？用 sinx 有甚麼壞處？

2015-02-17 01:04:01 補充：
掙沅：

y = 2 sin²x - 2 sinx + 3

微分得：
dy/dx = 4 sinx cosx - 2 cosx

並不是你說的 4 sinx - 2 !!!

2015-02-17 01:09:02 補充：
若果是 sinx - 2 = 0，「將 -1 帶入 y 式中會出現最大值」，那個 y = -1 又從何而來呢？

是看著答案「作」的嗎？

用配方法....
原式=2(sin平方x-sinx)+3
=2(sin平方x-sinx+1/4)+5/2
=2(sinx-1/2)平方+5/2
sinx=1/2時有最小值5/2
又-1小於等於sinx小於等於1
所以sinx=-1時有最大值7

建議把sinx用一個符號表示，例如A
然後-1≤A≤1～

f(x)
= 2sin²x - 2sinx + 3
= 2[sin²x - sinx] + 3
= 2[sin²x - sinx + (1/2)²] + 3 - 2(1/2)²
= 2[sinx - (1/2)]² + (5/2)

-1 ≤ sinx ≤ 1
[-1 - (1/2)] ≤ [sinx - (1/2)] ≤ [1 - (1/2)]
-3/2 ≤ [sinx - (1/2)] ≤ 3/4
0 ≤ |sinx - (1/2)| ≤ 3/2
0 ≤ [sinx - (1/2)]² ≤ (3/2)²
0 ≤ [sinx - (1/2)]² ≤ 9/4
0 ≤ 2[sinx - (1/2)]² ≤ 9/2

f(x) = 2[sinx - (1/2)]² + (5/2)

2[sinx - (1/2)]² 的最大值為 9/2。
f(x) 的最大值 = (9/2) + (5/2) = 7

2[sinx - (1/2)]² 的最小值為 9/2。
f(x) 的最小值 = 0 + (5/2) = 5/2

2015-02-14 16:52:32 補充：
第二段第三行： -3/2 ≤ [sinx - (1/2)] ≤ 3/4
更正為： -3/2 ≤ [sinx - (1/2)] ≤ 1/2

2015-02-14 16:56:09 補充：
由 -3/2 ≤ [sinx - (1/2)] ≤ 1/2 變成 0 ≤ 2[sinx - (1/2)]² ≤ 9/2 的另一方法：

-3/2 ≤ [sinx - (1/2)] ≤ 1/2

-3/2 ≤ [sinx - (1/2)] ≤ 0 或 0 ≤ [sinx - (1/2)] ≤ 1/2
0 ≤ [sinx - (1/2)]² ≤ 9/4 或 0 ≤ [sinx - (1/2)]² ≤ 1/4

所以 0 ≤ [sinx - (1/2)]² ≤ 9/4
0 ≤ 2[sinx - (1/2)]² ≤ 9/2

2015-02-14 17:23:07 補充：
總之

不可將 -3/2 ≤ [sinx - (1/2)] ≤ 1/2 直接平方
變成 1/4 ≤ [sinx - (1/2)]² ≤ 9/2

這是錯誤的做法。