工程數學，求解特解

用代定係數算出來ｘ³係數會變０＝１

那是閣下用特解 yp=Ax^3,的結果,假設錯了!
正確的假設是yp=Ax^3lnx. 耐心代入即得A=1/26.

參數變更法在此處不是比較好的選擇.

2015-02-05 23:45:03 補充：
如果齊次解為C1cos(2x)+C2sin(2x)，等式右邊為sin(2x)
那麼特解要設定成甚麼，是Ax*cos2x+Bx*sin2x嗎？

要檢視左邊的方程式. 若是實係數線性常微方, 是的, yp=Ax*cos2x+Bx*sin2x; 若左邊的方程式是Euler Equation,如同你先問的這款,則其齊次解不可能是C1cos(2x)+C2sin(2x),自然就不會有補充的問題了.

2015-02-05 23:56:08 補充：
如果齊次解為C1cos(2x)+C2sin(2x)，等式右邊為sin(2x)
那麼特解要設定成甚麼，是Ax*cos2x+Bx*sin2x嗎？

要檢視左邊的方程式. 若是實係數線性常微方, 是的, yp=Ax*cos2x+Bx*sin2x; 若左邊的方程式是Euler Equation,如同你先問的這款,則其齊次解不可能是C1cos(2x)+C2sin(2x),自然就不會有補充的問題了.

Ｃ１ｘ³＋Ｃ２ｘ^４ｃｏｓ（５ｌｎｘ）＋Ｃ３ｘ^４ｓｉｎ（５ｌｎｘ）
Set x=e^u => du/dx=e^(-u) & u=ln(x)y'=(dy/du)*(du/dx)=Y'*e^(-u)y"=d[Y'e^(-u)]/du*(du/dx)=[Y"e^(-u)-Y'e^(-u)]*e^(-u)=(Y"-Y')e^(-2u)
y"'=d{(Y"-Y')e^(-2u)}/du*(du/dx)=[(Y"'-Y")e^(-2u)-2(Y"-Y')e^(-2u)]*e^(-u)=(Y"'-3Y"+2Y')*e^(-3u)
代入原式裡面:Right = x^3= e^(3u) = Left= (Y"'-3Y"+2Y') - 8(Y"-Y') + 55Y'- 123Y= Y"'- 11Y" + 65Y' - 123Y
輔助方程式: 0 = D^3 - 11D^2 + 65D - 123= (D - 3)(D^2 - 8D + 41)D = 3, 4+-5j....j=√-1Yh = C1*e^3u + e^4u*[C2*cos(u) + C3*sin(u)]=> yh(x) = C1*x^3 + x^4*{C2*cos[ln(x)] + C3*sin[ln(x)]}
Using operator^(-1) method to find Yp:Yp = {e^3u/(D - 3)(D^2 - 8D + 41)}= e^3u*{1/D(D^2-2D+26)}.....Note1= e^3u*{1/26D + (-D+2)/26(D^2-2D+26)}= e^3u*{1/26D + 2/26(D^2-2D+26)}.....D(1)=0= e^3u*{u/26 + 2/26(0-0+26)}.....Note3.4 = e^3u*(u/26 + 1/338)
yp(x) = e^3(lnx)*[(lnx)/26 + 1/338]= x^3*{[ln(x)]/26 + 1/338]= ans
y(x) = yh(x) + yp(x)= C1*x^3 + x^4*{C2*cos[ln(x)] + C3*sin[ln(x)]} + x^3*{[ln(x)]/26 + 1/338]
Note: Operator^(-1) formulae L(D) = Σ(j=0~n)[aj*D^j] = ao + a1*D + a2*D^2 + a3*D^31.{e^kx*f(x)}/L(D)=e^kx*{f(x)/L(D+k)}2.e^kx/(D-k)}=x*e^x 3.k=0 => 1/D = x 4.yp=k/L(D)=k/L(0)


2015-02-05 17:50:53 補充：
修改:

yh(x) = C1*x^3 + x^4*{C2*cos[5*ln(x)] + C3*sin[5*ln(x)]}


y(x) = C1*x^3 + x^4*{C2*cos[ln(x)] + C3*sin[ln(x)]}

+ x^3*{[ln(x)]/26 + 1/338]

= C4*x^3 + x^4*{C2*cos[ln(x)] + C3*sin[ln(x)]} + x^3*{[ln(x)]/26

2015-02-05 17:57:03 補充：
如果齊次解為C1cos(2x)+C2sin(2x)，等式右邊為sin(2x) 特解要設定成甚麼，是Ax*cos2x+Bx*sin2x嗎？還是其他的？

Ans:

yp=sin(2x)/(D^2 + 4) =-x*cos(2x)/4

Note:

yp=sin(kx)/(D^2 + k^2)=-cos(kx)/2k

2015-02-05 17:58:37 補充：
修改: =-x*cos(kx)/2k