國三.二次函數

y = x² - 4tx - 4(t + 1) 與 x 軸交於相異兩點。

先求出這兩點，考慮 y = 0。
x² - 4tx - 4(t + 1) = 0
x² - 4tx = 4(t + 1)
x² - 4tx + (2t)² = 4(t + 1) + (2t)²　〔進行配方〕
(x - 2t)² = 4t + 4 + 4t²
(x - 2t)² = 4(t² + t + 1)
x - 2t = ±√[4(t² + t + 1)]
x - 2t = ±2√(t² + t + 1)
x = 2t ± 2√(t² + t + 1)

因此，右點是 ( 2t + 2√(t² + t + 1) , 0 )，左點是 ( 2t - 2√(t² + t + 1) , 0 )。

兩點距離
= [2t + 2√(t² + t + 1)] - [2t - 2√(t² + t + 1)]
= 4√(t² + t + 1)
= 4√(t² + t + 1/4 + 3/4)　〔再進行配方〕
= 4√[ (t + 1/2)² + 3/4]

這個距離的最小值是當 t = -1/2 時達到。

兩點距離的最小值是
4√[ (-1/2 + 1/2)² + 3/4]
= 4√( 0 + 3/4)
= 4√(3/4)
= 4√3 / √4
= 4√3 / 2
= 2√3

2015-02-03 12:16:30 補充：
其實我也有考慮過用根的和和積，但上一次我用此方法時，有網友告知台灣的不同年級未必學到這個，只有有公式解和配方法。

所以我就用了回答區的方法。

2015-02-03 12:22:31 補充：
如果你已經學了根的和和積，可以考慮 x² - 4tx - 4(t + 1) = 0 的根是 a 和 b。
{ a + b = -(4t) = 4t
{ ab = -4(t + 1)

題目所求的就是 |a - b| 的最小值。

　|a - b|
= √(a - b)²
= √[(a + b)² - 4ab]
= √[(4t)² + 16(t + 1)]
= √(16t² + 16t + 16)
= 4√(t² + t + 1)

那麼再用以上的步驟也可得知
兩點距離的最小值是 2√3。

這兩點的距離意即橫坐標差
假設方程式X^2 -4TX -4(T+1)=0的兩根為A,B
所求即|A-B|
兩根和A+B=4T, 兩根積AB=-4T-4
|A-B|^2= (A+B)^2 -4AB = 16T^2 +16T+16
此式最小值的正平方根即為所求
16(T+1/2)^2 +12，令T=-1/2

ANS：2根號3

設 α β 為此函數與X軸相交的兩相異點，且α > β。因為
α＋β＝4t 及 αβ＝-4(t＋1)，而
(α－β)²＝(α＋β)²－4αβ＝16t²＋16t＋16＝4(2t＋1)²＋12
所以
α－β＝√[4(2t＋1)²＋12]
它的最小值是當 t＝-1/2，所以，
距離的最小值是 √12，即 2√3 單位。