矩陣微積分一問

y,a為實數向量 W為實數矩陣 f(W)=(y-W*a)^T * (y-W*a) df/dW=?= (0-a)^T*(y-W*a) + (y-W*a)^T*(0-a)= -a^t*(y-w*a) - (y-W*a)^t*a= -a^t*y + a^t*w*a - (y^t - a^t*w^t)*a= -a^t*y + a^t*w*a - y^t*a + a^t*w^t*a= 2*(a^t*w*a - a^t*y).....Notes
Note1: a^t*y=y^t*aSet a^t=(a1 a2), y^t=(y1 y2)Left=a1*y1+a2*y2Right=y1*a1+y2*a2=Left
Note2: a^t*w*a=a^t*w^t*aSet w=[u1 u2; v1 v2]Left=(a^t*w)*a=[a1 a2]*[u1 u2; v1 v2]*[a1; a2]=[a1*u1+a2*v1 a1*u2+a2*v2]*[a1; a2]=u1*a1^2 + a1*a2(v1+u2) + v2*a2^2
Right=(a^t*w^t)*a=[a1 a2]*[u1 v1; u2 v2]*[a1; a2]=[a1*u1+a2*u2 a1*v1+a2*v2]*[a1; a2]=u1*a1^2 + a1*a2(v1+u2) + v2*a2^2=Left

2015-02-01 15:57:09 補充：
補充scale:

a^t=(vector)^t=1*n

a=vector=n*1

a^t*w*a=(1*n)*(n*n)*(n*1)=1*1

=> w=n*n=Square

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W = [w(i,j)] 為矩陣, f(W) 為實數值函數.

df/dW 如果定義為矩陣 [∂f/∂w(i,j)], 那麼,

d(a^t W^t b)/dW = d (b^t W a)/dW = [∂ΣΣb(r)W(r,s)a(s)/∂W(i,j)]
= [ b(i)a(j) ] = ba^t

d(a^t W^t Wb)/dW = (Wb)a^t + (a^t W^t)^t b^t = W(ba^t+ab^t)
故 d(a^t W^t W a)/dW = 2Waa^t

2015-02-01 10:22:12 補充：
f(W) = y^t y - 2a^t W^t y + a^t W^t Wa

故
df(W)/dW = -2y a^t + 2Wa a^t = 2(Wa-y)a^t

2015-02-01 10:25:30 補充：
Note:
設 W 為 n×k 矩陣, a 是 k×1, y 是 n×1.
結果 df(W)/dW 亦為 n×k 矩陣.