102學測研究用試卷數學詳解

下列哪一個選項是(x^5-x^4+x)(x^3+x^2+x+1)除以Q=x^2+x+1的餘式？(1)0 (2)-1 (3)2x (4)-x (5)-x-1 Ans：5
(x^5-x^4+x)(x^3+x^2+x+1)/Q=[(x^5+x^4+x^3)-2x^4-x^3+x][x(x^2+x+1)+1]/Q=[Qx^3+(-2x^4-2x^3-2x^2)+(x^3+2x^2+x)](xQ+1)/Q=[Qx^3-2Qx^2+(x^3+x^2+x)+x^2](xQ+1)/Q=(Qx^3-2Qx^2+xQ+x^2)(xQ+1)/Q=(x^3-2x^2+x) + [x^2/Q](xQ+1)=(x^3-2x^2+x+x^3) + x^2/Q=(2x^3-2x^2+x) + (x^2+x+1-x-1)/Q=(2x^3-2x^2+x) + (Q-x-1)/Q=(2x^3-2x^2+x) + 1 - (x+1)/Q=(2x^3-2x^2+x+1) - (x+1)/Q
R=-x-1=(5)=ans
多選題：設Γ為一橢圓，F為Γ的一個焦點。試問以F為圓心的圓與Γ可能有幾個交點？
(1)0 (2)1 (3)2 (4)3 (5)4 Ans：1.2.3
r<a-c => None=(1)r=a-c => Contact=(2)r>a-c => Both points=(3)ans=1.2.3

他有更好的解決方式
TS777.CC

第一題
(X^5 -X^4 +X)(X^3 +X^2 +X+1) = (X^2 +X+1)Q +R
可令X^2 +X+1=0使得(X^5 -X^4 +X)(X^3 +X^2 +X+1)=R
(X^5 -X^4 +X)(X^3 +X^2 +X+1)
= [(X^2 +X+1)(X^3 -2X^2 +X+1)+(-X-1)][X(X^2 +X+1)+1]
= -(X+1)(1) = -X-1ANS：(5)


第二題
圓過小或圓過大，沒有交點
兩者內切或外切時，交於一點
其餘情況，交於兩點
ANS：(1)(2)(3)

(x-1)(x^2+x+1)=x^3-1為x^2+x+1的倍式
根據餘式定理的原理，只要讓倍式為0，剩下即為餘式
故令x^3-1=0，得x^3=1
且令x^2+x+1=0
代換，得，同餘(x^2-x+x)(1+0)，同餘x^2，同餘x^2+x+1-x-1，同餘-x-1

設橢圓方程式為x^2/a^2+y^2/b^2=1，圓方程式為(x-c)^2+y^2=r^2
橢圓同乘b^2，得b^2*x^2/a^2+y^2=b^2
聯立，與圓相減，得x的二次方程式，可能無解=>0交點
可能重根=>1交點，可能相異根=>2交點

解法不一定可被接受，參考！