台大102高微考古題

四小題只會作一半，剩下請求大師出馬，ORZ

Let g(x,y) be a function satisfying


-1 < g(x,y) < 1 for x in R , y > 1, and

ln[(1+g(x,y))/(1-g(x,y))] + (2y)arctan[yg(x,y)] = 2(1+y^2)x


a) Show that g(x,y) is increasing in x (用反證，已解決)

b) Find lim(y->oo) g(x,y)

ln[(1+g(x,y))/(1-g(x,y))]/2(1+y^2) + (y)arctan[yg(x,y)]/(1+y^2) = x

arctan 那項極限必為 0 => lim(y->oo) g(x,y) = 1, if x>0 (不確定對不對)
-1, if x<0

c) 證明 g(x,y) 在其定義域上可微

我是想證它是 C^1，g(x,0) 可解出為 [-1+e^(2x)]/[1+e^(2x)] 是 C^1，
但 g(0,y) 這個函數我解不出來，ORZ

d) Find lim(y->oo) g_x(x,y)

g(x,y) 對 x 的偏微分 g_x(x,y) 我解出為 [1-g^2(x,y)][1+(y^2)(g^2(x,y))]，
左邊極限是 0 右邊極限是 oo，接下來沒想法，orz