用奇數個角形排成長方形

用15個角形可排出 5 × 9 之長方形如下:

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下證不能用少於15之奇數個角形排出長方形:
若不然,設正方形面積為1,考慮排出之長方形面積是3的奇數倍,其必有一邊長為3之奇倍數,且各邊長均是大於1的奇數。於是該長方形必有一邊長為3,否則其必有一邊長為不少於9的3之奇倍數,由於該長方形小於5 × 9,則另一邊長必為少於5大於1之奇數(即3),矛盾。
今證任一邊長為3之長方形不可能用奇數個角形排出。
若不然,設該某一邊長為3之長方形由k(奇數k<15)個角形排出,則長方形面積為3k。注意邊長為3之長方形中間的一行必包含每個角形的某個部分,且中間的一行由 3k/3 = k個正方形組成,故中間的一行剛好包含每個角形的其中一個正方形,那麼每個角形的其餘2個正方形必同時在上面的一行或下面的一行,這樣將導致該長方形的一邊為2的倍數,矛盾! 故用少於15之奇數個角形排不出長方形。