maths probability

(a)
由於 "students from the same school are indistinguishable"，即是把來自同一學校的視為相同。

現在的問題相當於把
　ＡＡＢＢＢＢＣＣＣＣ
這十個字母排列，問有多少個不同的排法。

首先，若十個字母皆不同，那麼我們可以容易理解，所求的排法數是：
10! = 10 × 9 × 8 × ... × 2 × 1
因為第一個位有 10 個字母選擇，然後只餘 9 個，如此類推。

但現在，由於兩個Ａ是相同的，四個Ｂ是相同的，四個Ｃ又是相同的。
因此，10! 必定會重覆數了很多情況。

我們如此想：先把兩個Ａ看成是Ａ₁ 和Ａ₂。
留意，在 10! 個情況之中 Ａ₁ 和Ａ₂ 的位置即使互換了，也是沒有分別的。
因此，10! 其實計算了 2! 次相同的情況。
所以，若考慮Ａ₁ 和Ａ₂ 相等，排法數應該只有
10! ÷ 2! 這麼多。

再看看Ｂ的情況，先標記為Ｂ₁、Ｂ₂、Ｂ₃、Ｂ₄。
在 (10! ÷ 2!) 的每一個情況當中，其實Ｂ₁、Ｂ₂、Ｂ₃、Ｂ₄ 的位置即使互換了，也是沒有分別的。
因此，上式會計算了 4! 次相同的情況。
〔4! 就是指四個Ｂ的不同排法。〕
所以，若考慮Ｂ₁、Ｂ₂、Ｂ₃、Ｂ₄ 相等，排法數要再 ÷ 4! 才對。

對於Ｃ也是用這個想法。
因此，所求的數是 10! ÷ 2! ÷ 4! ÷ 4!
= 10! / (2! 4! 4!)

(b)
對於這部份，相信你明白分母 (3150) 就是 (a) 部的答案。
所以只解釋一下得出分子 (630) 的想法。

由於現在要求Ａ₁ 和Ａ₂ 相鄰，在排列的時候，我們大可以把兩者看成是一個物件：〔ＡＡ〕

那麼，現在共有九個物件要排列：
〔ＡＡ〕、Ｂ₁、Ｂ₂、Ｂ₃、Ｂ₄、Ｃ₁、Ｃ₂、Ｃ₃、Ｃ₄

九個物件任意排共有 9! 個排法。
如 (a) 部的想法，由於Ｂ₁、Ｂ₂、Ｂ₃、Ｂ₄ 的位置即使互換了，也是沒有分別的，Ｃ₁、Ｃ₂、Ｃ₃、Ｃ₄ 的位置即使互換了，也是沒有分別的。

所以要把 9! 除 4! 兩次。

因此，分子是 9! / (4! 4!)。

若希望把數式寫得工整一點，其實可以寫：
9! / (1! 4! 4!)

留意 9 = 1 + 4 + 4。
正如 (a) 部的 10 = 2 + 4 + 4。