數學問題-利用平方差公式因式分解下列各式

1 - a² - b² + a²b²
= (1 - a²) - (b² - a²b²)
= (1 - a²) - b²(1 - a²)
= (1 - a²) (1 - b²)
= (1 - a)(1 + a) (1 - b)(1 + b)
= (a - 1) (a + 1) (b - 1) (b + 1)

2014-12-23 21:21:29 補充：
另一種解法 :
設 f(a) = 1 - a² - b² + a²b²
由因式定理,
f(1) = 1 - (1)² - b² + (1)²b² = 0, 故 a - 1 為 f(a) 因子,
f(-1) = 1 - (-1)² - b² + (-1)²b² = 0, 故 a + 1 為 f(a) 因子;
因 a 和 b 地位完全對等, 故 b - 1 及 b + 1 亦為 f(a) 因子,
可知 1 - a² - b² + a²b² = (a - 1) (a + 1) (b - 1) (b + 1)。

2014-12-23 22:17:41 補充：
這樣表述較流暢:
1 - a² - b² + a²b²
= a²b² - a² - b² + 1
= a²(b² - 1) - (b² - 1)
= (a² - 1) (b² - 1)
= (a - 1) (a + 1) (b - 1) (b + 1)

2014-12-23 22:24:33 補充：
別解(利用因式定理配合合平方差公式) :
設 f(a²) = 1 - a² - b² + a²b²
由因式定理, f(1) = 1 - (1) - b² + (1)b² = 0, 故 a² - 1 為 f(a²) 因子,
因 a² 和 b² 地位完全對等, 故 b² - 1 亦為 f(a²) 因子,
可知 1 - a² - b² + a²b² = (a² - 1) (b² - 1) = (a - 1) (a + 1) (b - 1) (b + 1)。

2014-12-23 22:38:18 補充：
又解:
令 b² = ka², 則
1 - a² - b² + a²b²
= 1 - a² - ka² + a²ka²
= ka⁴- (k+1)a² + 1
= (a² - 1) (ka² - 1)
= (a² - 1) (b² - 1)
= (a - 1) (a + 1) (b - 1) (b + 1)

2014-12-23 22:47:49 補充：
再解:
令 b² = a²+k , 則
1 - a² - b² + a²b²
= 1 - a² - (a²+k) + a²(a²+k)
= a⁴+ (k-2)a² - (k-1)
= (a² - 1) (a² + k-1)
= (a² - 1) (b² - 1)
= (a - 1) (a + 1) (b - 1) (b + 1)

2014-12-23 23:07:54 補充：
添多一解:
令 a² = m - n , b² = m + n , 則
1 - a² - b² + a²b²
= 1 - (m - n) - (m + n) + (m - n)(m + n)
= 1 - 2m + m² - n²
= (m - 1)² - n²
= (m - n - 1) (m + n - 1)
= (a² - 1) (b² - 1)
= (a - 1) (a + 1) (b - 1) (b + 1)

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