羅必達法則的疑問

lim(x趨近於0)f(x)=(sinx*cosx)/x =sin0*cos0/0=0/0=(sinx*cosx)'/x'.....不確定則使用羅必達=[-(sinx)^2+(cosx)^2]/1=(cosx)^2-(sinx)^2=cos(2x)=cos0=1.....確定則不用羅必達

其實一點也不奇怪，很多人和你有類似的疑問

因為很多人看了很像可用就用羅必達法則
沒有去了解可以用羅必達法則的條件

這題不符合可以用的條件
當然不能用

不能用，但你卻用了，然後再來比較其他算法
得到不同答案，當然會覺得奇怪

不能符合運用條件當然不要用

我的問題在於趨近於0時
lim (sinx*cosx)/x=[lim(sinx/x)]*cosx=1
[lim (sinx)]*[lim (cosx/x)=0]=0
同樣的算式 只因分母擺在不同分子下就有不同的答案太詭異了吧

"根據羅必達法則 lim f(x)=limf'(x)=0" ?

你對羅必達法則的認識恐怕有誤解?

f(x) = sin(x)cos(x)/x = g(x)/h(x)
其中 g(x) = sin(x)cos(x), h(x)=x

羅必達法則是說: 在某些條件下, lim g(x)/h(x) = lim g'(x)/h'(x)

2014-12-24 20:37:56 補充：
而今 g'(x) = cos^2(x)-sin^2(x) = cos(2x) (note that g(x) = (1/2)sin(2x).)
而 h'(x) = 1

lim g'(x)/h'(x) = 1/1 = 1

又, lim f(x) = (lim sin(x)/x) (lim cos(x)) = 1

兩者並無矛盾.

2014-12-24 20:42:12 補充：
不過, 個人認為 lim_{x→0} g(x)/x 或 lim_{x→a} (g(x)-g(a))/(x-a) 這種問題
不適用 羅必達法則.

因為, 本身極限式就是 g'(0) (或 g'(a)) 的定義式; 而羅必達法則又需要 g'(x),
這有點循環論證 (以 A 證 B 又以 B 證 A) 的嫌疑.

2014-12-28 20:03:59 補充：
"[lim (sinx)]*[lim (cosx/x)=0]=0" 是錯的. 前面已有人指出了, 怎麼
你還有疑問?


x→0 時 cos(x)→1, 因此 cos(x)/x 極限不存在.

lim f(x)g(x) = lim f(x) lim g(x) 僅當 右邊兩個 limit 都存在時公式
才適用, 有一個不存在即不能適用.

lim(sinx)*[lim(cosx/x)=0]......(2)

[lim(cosx/x)=1/0 無意義
(x趨近於0)
所以不能用

羅必達法則使用時機
0/0type或無限大/無限大