2014 DSE Maths 練習卷 1 Q35,36,39

39.
對於實數係數的二次方程，若 3 + 2i 是一根，那麼 3 - 2i 就是另一根。

根之和 = (3 + 2i) + (3 - 2i) = 6
根之積 = (3 + 2i)(3 - 2i) = 9 + 4 = 13

故方程是 x² - 6x + 13 = 0

答案是 B.


35.
令方程為 ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0)
其中 a, b, c 均為整數。
且判別式 ∆ = b² - 4ac 為完全平方。

I. 兩根的積 = c/a 是有理數，因為 a 和 c 是整數。

II. 兩根的和 = -b/a 未必是整數。
反例：3x² - 10x + 3 = 0 符合題目要求，但兩根的和 = 10/3 並非整數。

III. 兩根均為實數，但未必相等。若兩根相等，判別式 = 0。
註：判別式為完全平方可以確定兩根為有理數。
x = (-b ± √∆)/(2a)

答案是 A.


36.
π(1)² - π(1)²(120/360) - π(1)²(60/360) - π(1)²(30/360) - π(1)²(15/360) - ...

= π - π(1/3) - π(1/6) - π(1/12) - π(1/24) - ...

= π - π(1/3)[1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ...]

= π - π(1/3) [1 / (1 - 1/2)]

= π - π(1/3) (2)

= π/3

答案是 C.

2014-12-22 13:43:17 補充：
對, 是等比數列無限項之和。

2014-12-22 22:44:35 補充：
Tsz hei, 那是把一個有無限個項目的數列的所有項目加起來。

what is 無限項之和。

[1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ...]

= [1 / (1 - 1/2)]

我想問：以上步驟是否採用了「無限項之和」?