我有個國二數學問題不會想要請教大家 20點

第一題：X^3 -19X-30
F(A)F(B)＜0則A、B之間至少一實根
代入X=A得F(A)＞0或F(A)＜0時
再代入X=B使F(B)＜0或F(B)＞0
最後在A、B之間找根

F(1)=-48，F(0)=-30，F(-1)=-12
往小代：F(-2)=0，F(-3)=0
X^3 -19X-30 =(X+2)(X+3)(？)
ANS：(X+2)(X+3)(X-5)

第二題：X^3 -8X+7
F(1)=0，F(0)=7，F(-1)=14
不論往大或小代F(±7)明顯不是零
X^3 -8X+7 = (X-1)(X^2 +KX-7)
ANS：(X-1)(X^2 +X-7)

第三題：X^8 +X^7 +1
= (X^8 +X^7 +X^6) -(X^6 +X^5 +X^4)
+(X^5 +X^4 +X^3) -(X^3 +X^2 +X) +(X^2 +X+1)
= (X^2 +X+1)(X^6 -X^4 +X^3 -X+1)

利用算己不等式得X^6 -X^4 +X^3 -X+1
≧ 5[(X^6)(-X^4)(X^3)(-X)(1)]^1/5 =5(X^14)^1/5
X^14≧0，但X為0，X^14不為0
X^14＞0，正數開奇數次還是正數
X^6 -X^4 +X^3 -X+1＞0，X無實數解
ANS：(X^2 +X+1)(X^6 -X^4 +X^3 -X+1)

第四題：
XY(XY+1) +(XY+3) -2(X+Y+1/2) -(X+Y-1)^2
展開得(X^2)Y^2 -X^2 -Y^2 +1
= (X^2)(Y^2 -1) -(Y^2 -1)
= (X^2 -1)(Y^2 -1)
ANS：(X+1)(X-1)(Y+1)(Y-1)

第五題：(X^2 +3X+2)(X^2 +7X+12) -120
令A=X^2 +5X得[A+(2-2X)][A+(2X+12)] -120
展開得A^2 +14A -4X^2 -20X-96
= A^2 +14A-4A-96 = A^2 +10A-96
= (A+16)(A-6) = (X^2 +5X+16)(X^2 +5X-6)
ANS：(X+6)(X-1)(X^2 +5X+16)

第六題：4X^3 -31X+15
F(1)=-12，F(0)=15，F(-1)=-20
往大代F(3)=30再來更大；往小代F(-3)=0
4X^3 -31X+15 = (X+3)(4X^2 -12X+5)
ANS：(X+3)(2X-1)(2X-5)

第七題：6X^4 +27X^3 -13X^2 +9X-5
F(1)=24，F(0)=-5，F(-1)=-48
為了計算方便先做分數：
F[(1+0)/2]=0；F[(0-1)/2]=-63/4，0～-1不好做
F(X)= (2X-1)(3X^3 +15X^2 +X+5)

再做整數：f(X)= 3X^3 +15X^2 +X+5
f(5)每項皆正；f(-5)=0
3X^3 +15X^2 +X+5 = (X+5)(3X^2+1)
ANS：(X+5)(2X-1)(3X^2+1)

第八題：(X^2) -XY -2(Y^2) -X +5Y +2
型如AX^2 +BY^2 +CXY +DX +EY +F
都可以分解為(GX+HY+i)(JX+KY+L)
本題為了方便設為(X+AY+B)(X+CY+D)逐一比對各項係數得：
(1)1= 1*1
(2)-1= 1*C+A*1 =A+C
(3)-2= AC
(4)-1= 1*D+B*1 =B+D
(5)5= AD+BC
(6)2= BD

由(2)、(3)知A和C兩數一個是-2一個是1
然而由(4)、(6)知B、D無整數解
故原式無法因式分解

第九題：X^4 -X^3 +X^2 +2
= (X^4 +X^3 +X^2) -2(X^3 +X^2 +X) +2(X^2 +X+1)
ANS：(X^2 +X+1)(X^2 -2X+2)

第十題：8X^2 -2XY -3Y^2
= 8X^2 -6XY +4XY -3Y^2
= 2X(4X-3Y) +Y(4X-3Y)
= (2X+Y)(4X-3Y)
平方差公式A^2 -B^2 =(A+B)(A-B)
A+B=2X+Y，A-B=4X-3Y
相加/2得A=3X-Y，B=2Y-X
你也可以反過來令A+B=4X-3Y，A-B=2X+Y

繼續化為[(3X-Y)+(2Y-X)][(3X-Y)-(2Y-X)]
= (3X-Y)^2 -(X-2Y)^2

第十一題：
X+Y-2是X^2 +AXY+BY^2 -5X+Y+6的一個因式
求A、B
利用因式定理：F(X)有因式X-A，則F(A)=0
(1)代X=0、Y=2得4B+8=0，B=-2
(2)代X=1、Y=1得A+B+3=0，A=-1
ANS：-1、-2

2014-12-23 16:25:05 補充：
TO LCS：
這些題目的程度對於一個國中生來說
不懂的地方應該不少
如果要逐一提出是很費時的
不如等到看完大家的解法
再提出不懂的跟自己做卡的
相信數學是第一專長的你能明白~

回樓頂大大，我已經有題本的答案了，只不過想了解解題的過程而已
如果只是為了抄答案我何必特別貼到知識+呢?

1.
令 f(x) = x^3-19x-30
由 30 的因數知, f(x)=0 的可能根為:
±1, ±2, ±3, ±5, ±6
為計算快速,不用每個都檢驗,從小的檢驗起,一發現就可降階.
1, -1 , 2 都不是根, 絕對值最小的根為 -2, 利用除法可得:

圖片參考：https://s.yimg.com/rk/AC09299269/o/1176793799.png


原式
= (x+2)(x^2-2x-15)
= (x+2)(x+3)(x-5) ...Ans

2.
仿照第1題,
由 7 的因數知, 可能根為:
±1, ±7
1 就是根, 所以-1, 7, -7不用驗了, 利用除法可得:
原式
= (x-1)(x^2+x-7) ...Ans

3.
x^8+x^7+1
= (x^8+x^1+1) + (x^7-x^4)
= (x^4+1)^2 - (x^2)^2 + x^4(x^3-1)
= (x^4+1+x^2)(x^4+1-x^2) + x^4(x-1)(x^2+x+1)
= [(x^2+1)^2 - x^2](x^4-x^2+1) + x^4(x-1)(x^2+x+1)
= (x^2+1+x)(x^2+1-x)(x^4-x^2+1) + x^4(x-1)(x^2+x+1)
所以原式有因式為 x^2+x+1
整理以上,工程浩大,故直接用原式 / (x^2+x+1) 得:
原式
= (x^2+x+1)(x^6-x^4+x^3-x+1) ...Ans

4.
原式
= x^2y^2+2xy+3 -2(x+y) -1 -[(x+y)^2 -2(x+y) +1]
= (xy+1)^2 +2 -2(x+y) -1 -(x+y)^2 +2(x+y) -1
= (xy+1)^2 -(x+y)^2
= (xy+1+x+y)(xy+1-x-y)
= (xy+x+y+1)(xy-x-y+1) ...Ans

5.
原式
= (x+1)(x+2)(x+3)(x+4) -120
= [(x+1)(x+4)] [(x+2)(x+3) ] -120
= (x^2+5x+4)(x^2+5x+6) -120
= (x^2+5x)^2 +10(x^2+5x) +24-120
= (x^2+5x)^2 +10(x^2+5x) -96
= (x^2+5x-6)(x^+5x+16)
= (x+6)(x-1)(x^+5x+16) ...Ans

6.
仿照第1題, 由 15 的因數知, 可能根為 ±1, ±3, ±5, ... 1, -1 , 3 都不是根, 絕對值最小的根為 -3, 利用除法可得: 原式 = (x+3)(4x^2-12x+5) = (x+3)(2x-1)(2x-5) ...Ans

7.
由 -5 的因數知, 可能根為 ±1, ±5, ... 1, -1 , 5 都不是根, -5是根, 利用除法可得: 原式 = (x+5)(6x^3-3x^2+2x-1) 6的因數為1,2,3,6 ,
故 6x^3-3x^2+2x-1=0 的可能根為±1, ±1/2, ±1/3, ±1/6
1, -1 之前已驗,不是根,
1/2是根, 利用除法可得:
原式
= (x+5)(x-1/2)(6x^2+2)
= (x+5)(2x-1)(3x^2+1) ...Ans

8.
x^2-xy-2y^2 = (x+y)(x-2y)
故可設 原式 = (x+y+a)(x-2y+b)
x^2-xy-2y^2-x+5y+2
= (x+y+a)(x-2y+b)
= (x+y)(x-2y) +a(x-2y) + b(x+y) +ab
= (x+y)(x-2y) +(a+b)x +(-2a+b)y +ab
比較係數得:
a+b = -1 ...(1式)
-2a+b = 5 ...(2式)
ab = 2 ...(3式)
由 (1式),(2式)解得 a= -2 , b=1
但不滿足(3式),故無解.
題目是否有抄錯??
若題目常數項 2 改為 -2 , 則有解:
x^2-xy-2y^2-x+5y+2
改成:
x^2-xy-2y^2-x+5y-2
= (x+y+a)(x-2y+b)
= (x+y-2)(x-2y+1)

9.
原式
= (x^4+x^2+1) + (1-x^3)
= [ (x^2+1)^2 - x^2 ] + (1-x)(1+x+x^2)
= (x^2+1+x)(x^2+1-x) + (1-x)(1+x+x^2)
= (x^2+x+1)(x^2+1-x + 1-x)
= (x^2+x+1)(x^2-2x+2) ...Ans

11.
令 x^2+axy+by^2-5x+y+6 = (x+y-2) * f(x,y)
x=0, y=2 代入上式得 4b+2+6 = 0 , 故 b= -2
x=1, y=1 代入上式得 1+a+b-5+1+6 = 0 , 故 a+b= -3
a = -3-b = -3 -(-2) = -1
Ans: a = -1 , b = -2

2014-12-22 14:25:49 補充：
因為字數超過上限,第10題解於此:
令 8x^2 -2xy -3y^2 = (ax+by)^2 - (cx+dy)^2
(ax+by)^2 - (cx+dy)^2
= (a^2-c^2)x^2 +2(ab-cd)xy +(b^2-d^2)y^2
比較係數得:
a^2-c^2 = 8 ...(1式)
ab-cd = -1 ...(2式)
b^2-d^2 = -3 ...(3式)
由(3式)得 (b+d)(b-d) = -3

2014-12-22 14:26:07 補充：
( i ) b+d = 1 , b-d = -3 時:
解得 b= -1 , d=2
再代回(1式),(2式)解得 a=3, c= -1
( i i ) b+d = -1 , b-d = 3 時:
解得 b= 1 , d= -2
再代回(1式),(2式)解得 a= -3, c= 1
故 8x^2 -2xy -3y^2 = (3x-y)^2 - (-x+2y)^2
或 8x^2 -2xy -3y^2 = (-3x+y)^2 - (x-2y)^2
這兩式皆等於 (3x-y)^2 - (x-2y)^2
故得證

1.x^3-9x-10-30=x(x^2-9)-10(x+3)=x(x+3)(x-3)-10(x+3)=(x+3)(x^2+3x-10)=(x+3)(x+5)(x-2)

2.x^3-x-7x+7=x(x^2-1)-7(x-1)=(x-1)(x^2+x-7)

都不容易....有些沒想法...

最好把不懂的地方提出來討論,你才會明白
你只抄別人的答案,有什麼用處呢?