2014 DSE Maths 練習卷 2 Q14,17

14.
(a)
x - 2y = 0 ...... [1]
3x - 4y - 2 = 0 ...... [2]

由 [1] :
x = 2y ...... [3]

把 [3] 代入[1] 中：
3(2y) - 4y - 2 = 0
y = 1

把 y = 1 代入[3] 中：
x = 2

A 的坐標 = (2,1)


(b)(i)
MN 的方程式： y = -2
CM 的方程式： x = -3
BN 的方程式： x = 3

M的坐標 = (-3, -2)
N 的坐標 = (3, -2)

MN 的長度 = (3 + 3) = 6


(b)(ii)
BN 的長度 = 6 + 2 = 8
所求長方形面積 = 6 × 8 = 48平方單位


(c)
設 MN 和 BN為邊的長方形，另一頂角為 P。
P 點坐標 = (-3, 6)

ΔBCP 面積 = (1/2) × (3 + 3) × (6 - 4) = 6 平方單位
ΔMCD 面積 = (1/2) × (4 + 2) × (-2 + 3) = 3 平方單位
ΔADN 面積 = (1/2) × (3 + 2) × (1 + 2) = 7.5 平方單位
ΔABN 面積 = (1/2) × (6 + 2) × (3 - 2) = 4 平方單位

四邊形 ABCD 面積
= 48 - (6 + 3 + 7.5 + 4) 平方單位
= 27.5 平方單位> 27 平方單位


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17.
ΔACD 中：
cos∠ADC = (12² +15² - 12²) /(2 × 12 × 15) (餘弦定律)
cos∠ADC = 5/8
FD/15 = 5/8
FD = 75/8

sin∠ADC = √[1 - cos²∠ADC]
CF/15 = √[1 - (5/8)²]
CF = (15/8)√39

ΔABD 中：
cos∠BAD = (14² +12² - 20²) /(2 × 14 × 12) (餘弦定律)
cos∠BAD = -5/28

ΔABF 中：
BF² = 14² +[12 - (75/8)]² - 2 × 14 × [12 - (75/8)] × (-5/28)
BF² = 13825/64

ΔBFC 中：
cos∠BFC = [(13825/64) + 20² -20²] / [2 × √(13825/64) × 20] (餘弦定律)
∠BFC = 68°(至最近的度)


(b)
ΔABF 中：
BF² + AF²
= (13825/64) + [12 - (75/8)]²
= 7133/32

AB²
= 14²
= 196

BF² + AF² ≠ AB²
根據畢氏定理的逆定理，∠AFB 不是直角。
由於 BF 不垂直於 CF，故此 ∠BFC不是平面 ACD 和 平面ABD 的夾角。