2014 DSE Maths 練習卷 1 Q16,17

16.
(a)
弧ST = 弧SR(已知)
ST = SR (等弧對等弦)
ΔSTR 為等腰Δ。
∠STH = ∠TRS (等腰Δ兩底角)

∠TRS = ∠TPS (對同弧圓周角)

由於 ∠STH = ∠TRS 及 ∠TRS= ∠TPS
故此，∠STH= ∠TPS (公理)


(b)
連 PR。
設 ∠STH = ∠TRS = ∠TPS = a

∠RPS = ∠TRS = a (對等弧圓周角)

∠PRS = ∠PQS (對同弧圓周角)
∠PRT + a = 70°
∠PRT = 70° - a

∠PHK + ∠RPS + ∠PRT = 180° (Δ內角和)
∠PHK + a + (70° - a) = 180°
∠PHK = 110°


(c)
∠PQS + ∠PHK
= 70° + 110°
= 180°

PQKH 是圓內接四邊形 (四邊形內對角互補)


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17.
(b)
C1 的圓心 = (1, 1)
由於 C1 與 x軸及 y 軸相切，故 C1的半徑 = 1

C1 : (x - 1)² + (y - 1)² =1²
C1 : x² + y² -2x - 2y + 1 = 0


(a)
C1 : x² + y² -2x - 2y + 1 = 0 ..... [1]
C2 : x² + y² -2x + 4y - 11 = 0 ..... [2]

[2] - [1]：
6y - 12 = 0
y = 2

把 y = 2 代入[1] 中：
x² + (2)² -2x - 2(2) + 1 = 0
x²- 2x + 1 = 0
(x - 1)² = 0
x = 1 (重根)

兩圓交點的坐標 = (1,2)


(c)(i)
C2 的圓心 = (2/2, -4/2) = (1, -2)

L1 的方程： x = 1


(c)(ii)
C1 圓心 (1, 1) 與公切點(1, 2) 的連線為經過切點的半徑，是一鉛垂線。
切線垂直於通過切點的半徑，故此切線 L2 是一水平線。
L2 通過 (1, 2)。
L2­ 的方程： y = 2


(c)(iii)
L1 是一鉛垂線，L2 是一水平線。
因此， L1⊥L2

16(a)anglePHK=110-angleSTH+angleTPS=110
(b)Yes
anglePHK+anglePQK=110+70=180
17(a)(1,2)
(b)(x-1)^2+(y-1)^2=1
(c)The centre of C2=(1,-2)
The centre of C1 is (1,1)
Answer:x=1
(ii)
x^2+y^2-2x-2y+1=0 ....(1)
x^2+y^2-2x+4y-11=0 ...(2)
(2)-(1)
6y-12=0
y=2
(iii)Yes