高一數學對數問題

5^(log2)^3*5^(log5)^3*8^(log5)^2=_____
Sol
a=log2，b=log5
a+b=1
a^3+b^3=(a+b)^3－3(a+b)(ab)=1^3－3*(ab)=1－3ab=1－3b(1-b)=1+3b^2－3b
5^b=5^log5=5
5^(log2)^3*5^(log5)^3*8^(log5)^2
=5^(a^3)*5^(b^3*8^(b^2)^2
=5^(a^3+b^3)*2^(3b^2)
=5^(1+3b^2+3b)*2^(3b^2)
=5^(1+3b)*[5^(3b^2)*2^(3b^2)]
=5*(5^b)^3*1^(3b^2)
=5*1*1
=5

坐標平面上，設a為實數，已知f(x)=[3^x+3^(－x)]/3和g(x)=a/[3^x+3^(－x)]
兩函數圖形交於A，B兩點，AB=1，則a的值為何?
Sol
設p=3^x+3^(－x)>0
[3^x+3^(－x)]/3=a/[3^x+3^(－x)]
a>0
p/3=a/p
p^2=3a
p=(3a)^(1/2)
3^x+3^(－x)=(3a)^(1/2)
3^(2x)－(3a)^(1/2)*3^x+1=0
3^x=[(3a)^(1/2)+/-√(3a－4)]/2
設A(x1，y1)，B(x2，y2)，x1>x2
2*3^(x1)=(3a)^(1/2)+√(3a－4)
2*3^(x2)=(3a)^(1/2)－√(3a－4)
3^(x1－x2)=[(3a)^(1/2)+√(3a－4)]/[(3a)^(1/2)－√(3a－4)]
=[(3a)^(1/2)+√(3a－4)]^2/[(3a)－(3a－4)]
=[3a+(3a－4)+2√(9a^2－12a)]/4
=[3a－2+√(9a^2－12a)]/2
y1=[3^x1+3^(－x1)]/3=(3a)^(1/2)
y2=[3^x2+3^(－x2)]/3=(3a)^(1/2)
AB=1
(x1－x2)^2+(y1－y)^2=1
(x1－x2)^2=1
x1－x2=1
3^(x1－x2)=3
3=[3a－2+√(9a^2－12a)]/2
6=3a－2+√(9a^2－12a)
－3a+8=√(9a^2－12a)
9a^2－48a+64=9a^2－12a
36a=64
a=16/9

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(一)、
5^(log2)^3 ×5^(log5)^3× 8^(log5)^2=____
根據敘述，應該打成
5^((log2)^3) ×5^((log5)^3)× 8^((log5)^2)

如果沒有下面接著的敘述，可能會讓人誤以為是
(5^(log2))^3 ×(5^(log5))^3× (8^(log5))^2
(從前面開始往後算的關係)

過程.
(1)設 5^((log2)^3) ×5^((log5)^3)× 8^((log5)^2) = A
(2)取log
(log2)^3 x log5 + (log5)^3 x log5 + (log5)^2 x log8 = logA

(3)將(log5)提出
(log5) x ( (log2)^3 + (log5)^3 + log5 x log8 ) = logA

(4)將(log8)化成 3 x (log2)
(log5) x ( (log2)^3 + (log5)^3 + 3 x log5 x log2 ) = logA

(5)將(log2)化成(1-log5)
(log5) x ( (1-log5)^3 + (log5)^3 + 3 x log5 x (1-log5) ) = logA

(6)把括弧內計算一下
(log5) x ( (1-log5)^3 + (log5)^3 + 3 x log5 x (1-log5) )
= (log5) x ( 1 - 3 x (log5) + 3 x (log5)^2 - (log5)^3 + (log5)^3 + 3 x (log5) - 3 x (log5)^2 )
= (log5) x ( 1 )
= (log5)

(7)(log5) = (logA) A=5


(二)、
看不懂。

是G(X)=a/(3^x)+3^-x
還是G(X)=(a/3)^x+3^-x

是f(x)=3x+3^(-x/3)
還是f(x)=3x+(3^-x)/3

3x有沒有打錯(3^x)?
雖然用3x也有答案就是了...

2014-12-22 20:16:02 補充：
(二)、
003有提供一個解法，我也提供另一個解法。

(1).
f(x)=(3^x+3^-x)/3 與 G(X)=a/(3^x+3^-x) 都是以Y軸為對稱的圖形，因為代入(x)或(-x)都會得到相同的值。

(2).
因為都是以Y軸對稱的圖形，所以兩交點A、B構成的線段AB必定會與X軸平行。

2014-12-22 20:20:19 補充：
(3).
因為線段AB與X軸平行的關係，所以AB長度就會等於"A點到Y軸的距離"加上"B點到Y軸的距離"，亦即"A點的X座標"加上"B的X座標"。

(4).
因為是以Y軸為對稱的圖形且線段AB長度為1，我們可以知道A的X座標為(-0.5)、B的X座標為(0.5)。

(5).
把A、B任一點的X座標代入式子解出來即可。

(3^(0.5)+3(-0.5))/3 = a/(3^(0.5) + 3^(-0.5))
( ( √3 + 1/√3 )^2 ) / 3 = a
( 3 + 2 + 1/3 ) / 3 = a
(16 / 3) / 3 = a
a = 16/9

連打好一個題目都做不到
難怪要說是純粹問問題了
根本沒有心~