高一數學資優班題目

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圖片參考：https://s.yimg.com/rk/HA05107138/o/1150958961.png

令 BC = a，AC = b，AB = c

由算幾不等式，有

a⁴ + 4b⁴ >= 2√(a⁴*4b⁴) = 4a²b²

故 (a⁴ + 4b⁴) / a²b² >= 4 ...(1)

又

AM² = (a/2)² + b²...(2)

d = (a/2)*(b/c) = ab / 2c，即

d² = a²b² / 4c² = a²b² / 4(a²+b²)...(3)

2014-12-20 18:56:05 補充：
(承上)

(2)÷(3)

AM²/d² = (a²+4b²)*(a²+b²) / a²b² = 5 + [(a⁴ + 4b⁴) / a²b²] >= 9 (由(1))

故 d <= AM/3

等號成立的條件: a⁴ = 4b⁴，即 a/b = √2

以下用解析幾何證明.

令各點座標為:
C(0,0) , M(s,0) , B(2s,0) , A(0,t)
其中 s > 0 , t > 0

AB斜率 = -t/(2s)
故AB之直線方程式為:
y - t = -[t/(2s)] x
tx+2sy-2st = 0

d
= d(M,AB)
=｜ts-2st｜/√(t^2+4s^2)
= st /√(4s^2+t^2)

AM = √(s^2+t^2)

2014-12-20 12:43:00 補充：
For any s > 0 , t > 0

d ≦ (1/3)AM
⇔ st /√(4s^2+t^2) ≦ (1/3)√(s^2+t^2)
⇔ 3st ≦ √(s^2+t^2)√(4s^2+t^2)
⇔ 9 s^2 t^2 ≦ (s^2+t^2)(4s^2+t^2)
⇔ 9s^2t^2 ≦ 4s^4+t^4+5s^2t^2
⇔ 4s^4-4s^2t^2+t^4 ≧ 0
⇔ (2s^2-t^2)^2 ≧ 0
故得證

等號成立時
t^2 = 2s^2
t = √2 s
AC = √2 MC = (√2 / 2 ) BC