機率問題求高手解

這題可以算是"抽樣檢驗"的題目,
計算允收機率時, 請用卜氏分配.

令 x 為不良數
λ= n p = 100*0.04 = 4
不良率 P(x) =λ^x * e^(-λ) / x ! = 4^x * e^(-4) / x !

允收機率 Pa
= P( x ≦ 1)
= P( x = 0 ) + P( x = 1 )
= 4^0 * e^(-4) / 0 ! + 4^1 * e^(-4) / 1 !
= e^(-4) + 4*e^(-4)
= 5 * e^(-4)
= 0.091578.....
≒ 0.0916
Ans: 0.0916

方法二,查卜式分配表:
λ= 4 , 允收數c = 1
查表得 0.092


Q2. 遇到題目要怎麼分辨用哪個公式:
1.二項分配
2.超幾何分配
3.卜瓦松分配
4.常態分配
Ans:
若是限定以上四型的分佈,
連續型隨機變數: 用 常態分配
離散型隨機變數: 用 1, 2, 3 其中一個:
抽出不放回: 用 二項分配.
抽出放回: 用 超幾何分配.
成功(失敗)機率與時間成正比,與面積大小成正比:
用 卜瓦松分配.
卜瓦松分配的例子:
......, 試求這塊面板發現2個缺點的機率=?
或是
......, 試求1個小時通過這條老街的汽車數=?

答 案在 這裡
TS777.CC

(3) n 雖不算小, 但 p(不良率) 太小, 不適用常態近似, 可以用卜瓦松近似.

n通常多少以上會用卜瓦松近似

2014-12-17 22:14:37 補充：
謝謝你喔~~老怪物 請問一下你那嚜厲害這些東西都從哪邊知道的ㄚ!

回答了, 但打完送出結果斷線, 都沒了!

懶得再回答, 簡述要點:

(1) 有限群體, 本應是超幾何分布.

(2) 因抽出率 n/N = 100/2000 < 10%, 可用二項分布近似.

(3) n 雖不算小, 但 p(不良率) 太小, 不適用常態近似, 可以用卜瓦松近似.

(4) 實際計算結果, 依題意計算, 與答案不符. 疑拒收條件是
"超過一件不良品".
在此項修正下, 所列答案是卜瓦松近似機率.

2014-12-17 16:44:35 補充：
我沒看過任何 rule of thumb, 除了說 "n 很大, 而 np < 5" 以外.


不過, 我想是 n 至少 100 吧? 如本例, 二項機率與卜瓦松近似結果
還是有不算太小的差距. 當然這誤差所謂 "不算太小" 或 "夠小",
這又是見仁見智的問題了.

2014-12-17 16:52:31 補充：
除了什麼時候可用某種近似分布以外, "什麼時候用什麼分布" 的問題,
並非固定, 也非任意.

所謂 "連續型就用常態" 之論, 太武斷了! 即使在初級統計課程以 "猜
解" 的觀點來看, 都嫌粗糙.

"常態分布" 比較麻煩...實務上恐怕很少有真正符合常態分布的. 一些
題目動軏以 "成常態分布" 為假設, 數學上是完全錯誤的, 充其量是
"接近常態" 或 "可以用常態分布近似描述".

2014-12-17 16:58:15 補充：
從 "近似" 的觀點, 可以用常態近似描述之的事實可以從 "中央極限
定理" 去思考. 不過, 這對初學者並不容易.


拋卻數學性的描述, 中央極限定理所描述9是:
如果一個事實(數量)受無數相互獨立因素影響, 這些因素沒有一個是
決定性的, 也就是說這些因素都是不重要可忽略的, 它們的作用是彙
總在一起才顯現出來, 那麼這樣的事實大概可以用常態分布來描述.


如測量的誤差, 除了系統性的偏誤以外, 可能影響因素數不勝數, 但
又似乎都可忽略. 然而就是這些因素造成結果的不確定性. 那麼, 這
樣的測量結果或其誤差, 就可用常態分布來描述.

2014-12-17 17:07:08 補充：
二項分布的基本條件:
(1) 重複固定 n 次的試驗.
(2) 每次試驗結果只有兩種可能, 分別以 "成功", "失敗" 名之.
(3) 每次試驗, "成功" 的機率是固定的, 以 p 表示之.
(4) 各次試驗結果, 相互間是無關(獨立)的.

2014-12-17 17:09:20 補充：
卜瓦松分布的基本設定:
(1) 觀察的是固定範圍(時間、空間)上發生某種事件的次數.
(2) 在上述 "範圍" 取等大小的 "區段", 則這些等大小區段發生所論
事件的平均(理論的)次數是一樣的.
(3) 如果上述 "區段" 取得夠小, 那麼該區段內發生所論事件2次以上
之機率可以忽略. 也就是說, 或者發生一次, 或者不發生.
(4) 不相重疊區段發生數是相互獨立的.


上述隻設可與二項分布之假設相對應:
此處之(1)對應二項之(1), (2) 對應二項之 (3), (3) 對應二項之 (2),
(4) 對應二項之 (4).

2014-12-17 17:20:43 補充：
前述對應, 暗示了二項分布與卜瓦松分布之間的相互近似關係.


適合卜瓦松分布的事實, 把其觀測 "範圍" 平均分成 n 個 "區段",
對應二項分布之 "n 次試驗". 當 n 夠大時, 每個 "區段" 就 "夠小",
以致於只需考慮 "發生一次"(成功) 與 "不發生"(失敗). 而各區段
發生的平均次數也就是成功機率 p. 再加上各區段相互獨立 (各
試驗結果相互獨立), 這就完全符合二項分布的條件.

2014-12-17 17:23:52 補充：
所以, 二項分布何時可用卜瓦松分布近似, 可以從條件 (3) 考慮.
也就是: 是否可認為一次二項試驗相當於卜瓦松模型的 "夠小
的區段"? 那就是 e^{-p}≒ 1-p, 且 pe^{-p}≒p. 所以至少 p^2
是可忽略的.

當然, n 也要 "夠大". 但何謂 "n 夠大", 我就沒什麼可說的了...
除了先前說的 "n 至少100" 這個不負責的說法以外, 大概還可
以再給一個更沒道理的意見: n 太大以至計算二項機率太困難.

2014-12-17 17:26:17 補充：
至於超幾何分布, 那是極特殊的情境, 又完全是排列組合的問題, 我
相信沒有人不知道什麼樣的實驗結果屬於超幾何分布.

2014-12-19 15:47:50 補充：
從教本學來的啊!

其一, 我的學習重在了解不理而非記誦結果.

其二, 畢竟我學了很多年的機率與統計.