高中數學3題

第一題
(1)用扣的
八個東西取三個→C(8,3)
= (8!取前3個大數的乘積)/3!
= 8*7*6/3! =56

但是如果選的三個頂點彼此可連成正方體某面的對角線
則會形成正△
觀察這種正△的邊所在的面
發現三個面會交於正方體的頂點
而頂點有八個代表這種正△有八個
所求=56-8

(2)用加的
正方體表面有六個正方形的面
每個面都可以從四個點取任意三點形成⊿
所以有6*C(4,3)=24個。這些都是正方體表面的⊿

而在正方體內部的⊿我們可以這樣分析：
以正方體的中心為對稱點，則正方體的所有邊兩兩一組對稱
連接每一組的四個頂點可以形成六個長方面
每個長方形的面也可以從四個點取任意三點形成⊿
所以也是6*C(4,3)=24個
所求=24+24

ANS：48個



第二題
F(1)=G(1)=1；F(2)=G(2)=2；F(3)=G(3)=4
表示代入X=1、X=2、X=3時
F(X)的餘式=1=G(1)；=2=G(2)；=4=G(3)
可以假設F(X)= Q(X-1)(X-2)(X-3) +G(X)
因為F(X)是三次式，所以Q不為0

(D)正確

(A)F(5)=G(5)
則24Q+G(5)=G(5)，Q=0，矛盾

(B)和(C)必須要求出G(X)才有辦法選
令G(X)= AX^2 +BX+C，代入G(1)=1、G(2)=2、G(3)=4
A+B+C=1 ~(一)；4A+2B+C=2 ~(二)；9A+3B+C=4 ~(三)
(二)-(一)得3A+B=1，(三)-(二)得5A+B=2
後者-前者得A=1/2，代入前者得B=-1/2
一起代入(一)得C=1，G(X)=(1/2)X^2 -(1/2)X +1
F(X)= Q(X-1)(X-2)(X-3) +(1/2)X^2 -(1/2)X +1

(B)意即F(4)=7
則Q*3*2*1 +8 -2 +1 =7
6Q+7=7，Q=0，明顯錯誤

(C)F(X)= [Q(X-3)](X-1)(X-2) +(1/2)X^2 -(1/2)X +1
作除法"(1/2)X^2 -(1/2)X +1" ÷ "(X-1)(X-2)"
F(X)= [Q(X-3) +1/2](X-1)(X-2) +X

ANS：(C)(D)



第三題
函數F(X)=4X-2X^2通過點(A,B)和點(B,A)，則：
F(A)=B，4A-2A^2=B ~(一)
F(B)=A，4B-2B^2=A ~(二)

(1)如果A=B
代入(一)得4A-2A^2=A，2A^2 -3A=0
A(2A-3)=0，A=B=0或3/2
A+B=0或3

(2)如果A/=B
把(一)代入(二)得4(4A-2A^2) -2(4A-2A^2)^2 =A
8A(2-A) -(8A^2)(2-A)^2 -A =0
A[8(2-A) -8A(4-4A+A^2) -1] =0
A[(-8*1)A^3 +(-8*-4)A^2 +(8*-1 -8*4)A +(8*2 -1)] =0
A(-8A^3 +32A^2 -40A+15) =0 ~(三)

由於我們知道A有可能=0或3/2
代表(三)有因式A-0和A-3/2
因式可以配合常數倍改寫為A和2A-3
而(三)很明顯有因式A
則-8A^3 +32A^2 -40A+15有因式2A-3
可設-8A^3 +32A^2 -40A+15 = (2A-3)(-4A^2 +KA-5)

利用多項式相等則係數相等原則
一次項係數-40= 2*-5 -3*K，K=10
故-8A^3 +32A^2 -40A+15 = (2A-3)(-4A^2 +10A-5)
代回(三)得A(2A-3)(-4A^2 +10A-5) =0
-A(2A-3)(4A^2 -10A+5) =0
4A^2 -10A+5無法因式分解，所以用公式解硬算：
A={ -(-10)±√[(-10)^2 -4*4*5] }/(2*4) = (5+√5)/4或(5-√5)/4

利用(一)得所求=A+B = A+(4A-2A^2)
= -2A^2 +5A = A(5-2A)

A=(5+√5)/4：
A+B= [(5+√5)/4][5-(5+√5)/2]
= [(√5 /4)(√5 +1)] { (√5 /2)[2√5 -(√5 +1)] }
= (5/8)(√5 +1)(√5 -1)
= 5/2

A=(5-√5)/4：
A+B= [(5-√5)/4][5-(5-√5)/2]
= [(√5 /4)(√5 -1)] { (√5 /2)[2√5 -(√5 -1)] }
= (5/8)(√5 -1)(√5 +1)
= 5/2


ANS：0或3或5/2

2014-12-14 19:52:41 補充：
關於第三題的部分
應該有更快的做法
這兩個式子極具對稱性：
4A-2A^2=B
4B-2B^2=A

第二題的f(x)並沒有說三次項的係數是1喔
→f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)Q(x)+(ax^2+bx+c)
然後R(x)=g(x)
卡在一個Q(x) f(5)和f(4)應該是算不出來的
以上個人淺見

1.一個正立方體的8個頂點任取3個,可以排列出幾個直角三角型C(8,3)=8*7*6/3*2=56
2.以知三次多項式f(x): f(1)=1, f(2)=2, f(3)=4, 二次多項式g(x): g(1)=1, g(2)=2, g(3)=4, 請選出正確的選項:f(x)=x^3+ax^2+bx+cf(1)=1+a+b+c=1 => a+b+c=0f(2)=8+4a+2b+c=2 => 4a+2b+c=-6f(3)=27+9a+3b+c=4 => 9a+3b+c=-23兩兩相減: 3a+b=-6, 5a+b=-17相減: a=-11/2=> b=21/2, c=-5f(x)=x^3-11x^2/2+21x/2-5
g(x)=dx^2+ex+fg(1)=d+e+f=1 g(2)=4d+2e+f=2g(3)=9d+3e+f=4兩兩相減: 3d+e=1, 5d+e=2 => d=1/2=> e=-1/2, f=1g(x)=x^2/2-x/2+1
A.f(5)=g(5) => (X)f(x)=x^3-11x^2/2+21x/2-5 => f(5)=35g(x)=x^2/2-x/2+1 => g(5)=11
B.f(x)除以x-4的餘式為7 => (X)f(4)=13
C.f(x)除以(x-1)(x-2)的餘式為x => (O)f(x)=(x-1)(x-2)Q(x)+(hx+k)f(1)=h+k=1f(2)=2h+k=2相減: h=1, k=0=> R(x)=x
D.f[x]除以[x-1][x-2][x-3]的餘式為g[x] => (O)f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)P(x)+(dx^2+ex+f)=> R(x)=g(x)
3.以知f(x)=4x-2x^2, 且過(a,b), (b,a); 求a+b=?f(a)=4a-2a^2=bf(b)=a=4b-2b^2=4(4a-2a^2)-2(4a-2a^2)^2=16a-8a^2-2(16a^2-16a^3+4a^4)=-8a^4+32a^3-40a^2+16a0=8a^4-32a^3+40a^2-15a=a(8a^3-32a^2+40a-15)=a(2a-3)(4a^2-10a+5)a=0, 3/2, (5+-√5)/4b1,b2=4a-2a^2=0, 3/2b3,b4=Conjugate of a3,a4=(5-+√5)/4=> a+b=0 or 3 or 5/2

2014-12-14 07:45:49 補充：
第1題修改:

6ㄍ平面*4ㄍ直角Δ=24

4條對角線*2ㄍ直角Δ=8

N=24+8=32ㄍ直角Δ