兩根相等…國二問題

兩根相等表示方程式可以表示成完全平方式 設原式： (x+a)²=0 x²+2ax+a²=0 {2a=k+2.......(1){a²=2k+1......(2) 由(1)知a=(k+2)/2，帶入(2)中得到 [(k+2)/2]²=2k+1 (k²+4k+4)/4=2k+1 k²+4k+4=8k+4 k²-4k=0 k(k-4)=0 k=0 or 4 A：k=0 or 4

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問題：設 x ^2 + (k+2)x + (2x+1) =0 , 兩根相等，求 k之值？
答：
先將同次方的整理在一起
變成x ^2 + (k+4)x + 1 =0--------<1>
這題有2種方法可以做
(1)式子的還原
如果兩根相等，則式子可設成(x-a)*(x-a)=0 所以解為a（重根）其兩根相等。
將所設的式子展開
x^2-2a+a^2=0 可以對照第一式x ^2 + (k+4)x + 1 =0
所以-2=k+4 k=-6 但式子可設成(x+a)*(x+a)=0
展開後為x^2+2a+a^2
所以2=k+4 k=-2
ANS: -2 or -6

(2)判別式
一元二次方程式的標準式為ax^2+bx+c=0
判別式為b^2-4ac
[1] b^2-4ac>0：x有兩相異實根
[2] b^2-4ac=0：x有兩相等實根
[3] b^2-4ac>0：x無實根（為虛根）
判別式由來：公式解
根號內的數決定x的解
所以(k+4)^2-4*1*1=0 (k+4)^2-4=0 (k+4)^2=4
k+4=2 k=-2 k+4=-2 k=-6
ANS:-2 or -6

2014-12-14 11:12:52 補充：
判別式證明https://www.dropbox.com/s/1kfve1oot9shatw/%E5%88%A4%E5%88%A5%E5%BC%8F%E8%AD%89%E6%98%8E.docx?dl=0

2014-12-17 22:12:32 補充：
第一題不是算錯了嗎??
有三個都是算-2,-6
可是第一題卻算0,4
怪怪的!!

2014-12-19 21:56:15 補充：
哎！真是的！他還是專家五級耶！

兩根相等，假設重根是A
則(X-A)(X-A)=0
(X-A)^2 = X^2 -2AX +A^2 =0
可見常數項係數= [一次項係數/-2]^2

X^2 +(K+2)X +(2X+1) =0
X^2 +(K+4)X +1 =0
對照X^2 -2AX +A^2 =0
K+4=-2A，1=A^2
顯然A=±1，K+4=±2

ANS：-2或-6

PS：若原式為X^2 +(K+2)X +(2K+1) =0
[(K+2)/-2]^2 =2K+1......常數項係數=[一次項係數/-2]^2
(K+2)^2 / (-2)^2 =2K+1，(K+2)^2 =8K+4
K^2 +(4-8)K +(4-4) = K^2 -4K =0
K(K-4)=0，K=0或4


2014-12-12 22:08:20 補充：
X^2 +(K+4)X +1 =0
之所以不用判別式=0做
是因為很容易看出X^2 +(K+4)X +1 = (X±1)^2

如果還是要用判別式做，原理如下：
一元二次方程式AX^2 +BX+C=0
X= [-B+√(B^2 -4AC)] /2A 或 [-B-√(B^2 -4AC)] /2A
要使得[-B+√(B^2 -4AC)] /2A = [-B-√(B^2 -4AC)] /2A
唯有√(B^2 -4AC)=0，意即B^2 -4AC=0
故(K+4)^2 -4*1*1 =0，(K+4)^2 =4 =(±2)^2
K+4=±2，K=-2或-6

2014-12-18 19:29:11 補充：
這就是為什麼投機取巧的政客可以玩弄愚民於股掌之間~

2014-12-19 19:36:05 補充：
所以你就知道
這種離譜的答案為什麼這麼多人投
大師？專家？知識長？
不過都是公民投票團的高級幹部~
加上用大頭圖占用版面
還可以多騙些瞎民~

2014-12-19 22:31:52 補充：
升上知識長不代表真的是知識長
投機取巧又喜歡裝正義
最可恥~

一、先把同次方的放在一起

x^2 + (k+4)x + 1 =0

二、有幾種方法
(1) 判別式
若多項式 a*x^2 + b*x + c =0
可用判別式 b^2 - 4*a*c 來判斷多項式是否有解
a.兩根相等(重根)
b^2 - 4*a*c = 0

b.兩解
b^2 - 4*a*c > 0

c.無解(無實數解)
b^2 - 4*a*c < 0


(k+4)^2 - 4*1*1 =0

(k+4)^2 = 4

(k+4) =2 or -2

k = -2 or -6

A: k = -2 or -6


(2)從算式的結構下手
這個有點複雜，但就運用上而言，我認為這樣思考會比公式靈活很多

首先，這個一元二次方程式
你可以把他寫作
(x+a)*(x+a)=0
將算式展開
得
x^2 + 2*a*x + a^2 =0

你會發現常數項是由 a^2 來決定的
(你也會發現 x 的一次項是由 2*a 決定的)

所以常數項是 1 時，且方程式兩根相同時，a^2 = 1
a 就會是 +1 or -1

再看回來這個算式 x^2 + 2*a*x + a^2 =0
把 a 放進去
得
x^2 + 2*x + 1 =0
x^2 - 2*x + 1 =0

而 k+4 就是等於 2 or -2

k = -6 or -2

A: k = -2 or -6

2014-12-19 19:03:51 補充：
應該是題目的x看成k了
原題目x ^2 + (k+2)x + (2x+1) =0
看成x ^2 + (k+2)x + (2k+1) =0

可利用判別式=0 解k