學數學，解題思考方式

對於F(X)= (4^X +4^-X) +2(2^X +2^-X) +4
有人第一時間就把式子看成四個變數：
4^X、4^-X、2^X、2^-X
一個式子解四個變數，鬼做得出來~

不過用心一點的人還可以看成兩個變數：
4^-X =1/4^X，2^-X =1/2^X
可惜變數有兩個還是太多~

其實只要稍微分析一下就會有意想不到的收穫
如果數學練習得多，比較好的數感就會提醒你：
4^X =(2^X)^2；4^-X =(2^-X)^2
因為你一定做過諸如此類的變化：
4^X=(2^2)^X=2^2X=(2^X)^2；
4^-X=(2^2)^-X=2^-2X=(2^X)^-2= 1/(2^X)^2
這算是比較容易想到的~

以上兩個轉換結果暗示我們：
"F(X)= (4^X +4^-X) +2(2^X +2^-X) +4"其實只有一個變數
而為了書寫方便，可令T=2^X，則：
F(X)= (T^2 +1/T^2) +2(T+1/T) +4

做到這邊發現"T^2 +1/T^2"和"T+1/T"看似沒啥關係
但是細心一點可以發現T^2和1/T^2分別是T和1/T的平方
跟平方和公式契合：(A+B)^2 = A^2 +2AB +B^2
於是你不妨展開(T+1/T)^2看看：T^2 +2 +(1/T)^2
顯然F(X)= (T+1/T)^2 -2 +2(T+1/T) +4
F(X)= (T+1/T)^2 +2(T+1/T) +2
令Q=(T+1/T)= 2^X +1/2^X
F(X)= Q^2 +2Q +2 = (Q+1)^2 +1

由於2^X和1/2^X>0，Q= 2^X +1/2^X >0
所以F(X)最小時Q是最小正數
在平面座標系上分別做2^X和1/2^X的函數圖形
兩者對稱於Y軸，且相交於Y軸上的(0,1)
圖形的樣子會讓我們想以(0,1)為標準
分析(0,1)本身和左右兩邊的點坐標

(1)X=0，Q= 1+1/1 =2

(2)X>0，2^X>1
Q= 2^X +1/2^X = >1 +1/>1
">1 +1/>1"不容易直觀地跟2比大小
不妨變化Q= [(2^X)^2 +1]/2^X
可令2^X=1+a，a>0幫助判斷
Q= [(a+1)^2 +1]/(a+1) = (a^2 +2a+2)/(a+1)
= (a^2)/(a+1) +(2a+2)/(a+1) = (a^2)/(a+1) +2 >2

(3)X<0，2^X<1
Q= [(2^X)^2 +1]/2^X，令2^X=1-b，b>0
則Q= [(b-1)^2 +1]/(1-b) = (b^2 -2b+2)/(1-b)
= (b^2)/(1-b) +(-2b+2)/(1-b) =(b^2)/(1-b) +2 >2


可見X=0時Q為最小的正數
代回F(X)= (Q+1)^2 +1 =(2^X +2^-X +1)^2 +1

ANS：F(X)的最小值為10 when X=0

2014-12-12 11:16:21 補充：
如果有哪一部份看起來像是侷限你的思考
請補充發問該如何思考的地方~

確實有些地方
有天份的人想的比較快
而通常一般人都是天分不足的人
所以多半靠經驗主義
但是只要認真經歷過思考過程
就算有時候快有時候慢
還是疏途同歸~

2014-12-12 11:18:14 補充：
關於b>0的部分
b的範圍取得不夠準確
應該要取1>b>0~

2014-12-12 21:17:55 補充：
關於Q=2^X +1/2^X，求最小值的部分
樓下說的算己不等式是這樣子的：
A1+A2+A3+...+An >= n[(A1*A2*A3*...*An)^1/n]
當A1=A2=A3=...An時等式成立
而且A1+A2+A3+...+An為最小值n[(A1*A2*A3*...*An)^1/n]

只有兩項就是A+B>=2√AB
Q=2^X +1/2^X >= 2√[ (2^X)*(1/2^X) ] =2
當2^X=1/2^X時Q為最小值2

但是要檢查2^X=1/2^X有沒有問題：
2^X=1/2^X，2^X +1/2^X =2
故2^X=1/2^X=1，X=0

1.老師這樣說感覺是感覺怪怪的，應該是指這種解法是比較快速或是比較容易理解的方法，而用其他的解法要多考慮一些東西，繞一大圈才得到答案，而且常常會忽略掉很多東西因此算錯。
舉例子來說，就像用"三角函數"和"勾股定理與相似形"來解題目，用三角函數只要知道兩個邊的長度和所夾的角度就能算出第三邊，而用勾股定理和相似形就要多畫出好幾個三角形來算，計算多一不小心就容易算錯。


2.設x為實數且f(x)=(4^x+4^(-x) )+2(2^x+2^(-x) )+4，求f(x)的最小值及此時的x值

以我來說的話，考試如果時間不夠我會先"猜猜看"，先把它弄成底數都是2的樣子，(當然也可以用成4，但是化成小的只有乘法，化成大的會有除法)

f(x)=2^(2x) + 2^(-2x) + 2^(x+1) + 2^(-x+1)) + 4

因為是算最小值，所以常數項先放一旁不管它

前兩個( 2^(2x) + 2^(-2x) )可以發現是一個變多 另一個就會變小的東西 最小值就是兩個都是 x=0 的時候

後兩個( 2^(x+1) + 2^(-x+1) ) 會有猶豫的是 x=0 或是 x=1 這代代看一下子就能解出來了
x=1 ； 2^2 + 2^0 =5
x=0 ； 2^1 + 2^1 =4

很巧合的發現 x=0 兩邊都會最小，最小加上最小一定會是最小

直接帶題目

f(x) = 2^0 +2^0 +2^1 +2^1 + 4 =10

最小值 10 ；最小值時 x=0

這樣猜猜看的作法，加上把算式展開的大概30-60秒可以結束，算不出來的時候，可以先猜猜看的算一次，然候去算下一題。

這樣雖說是猜猜看，但實際上是用到指數的觀念，你看那些指數的圖
y=2^(x) ； y=2^(-x)
呈現一個J型的樣子，越後面(前面)，y增加的速度越來越快，在兩者中間的位置就是極限值的地方。


再來是比較正經一點的方法
設x為實數且f(x)=(4^x+4^(-x) )+2(2^x+2^(-x) )+4，求f(x)的最小值及此時的x值

一樣先把它化成底數為2的式子

f(x)=2^(2x) + 2^(-2x) + 2^(x+1) + 2^(-x+1)) + 4

設 2^x = A

f(x) = A^2 + 1/(A^2) +2A + 2/A + 4

化成這樣就是以前教過的多項式而已了，不過你要加上條件 A>0 也就是 2^x > 0

繼續解

=( A^2 + 1/A^2 +2 ) + 2( A + 1/A ) + 2

=(A + 1/A )^2 +2( A + 1/A ) +2

可用算幾不等式算出
A + 1/A 最小值就是 2 ；A=1

2^2 + 2*2 +2 =10

最小值 10 ； x=0 (2^x =A ； A=1)


3.關於計算速度，我的看法是速度快慢主要是取決於用的方法，像剛剛提過的用三角函數算或用勾股定理加上相似形來算，一個是一分鐘算出來，一個要花五分鐘，反倒是在加減乘除這方面慢也不會慢到哪裡去，因為計算錯誤的人絕對是比計算慢而沒作答的人多吧，畢竟題目不是像下列這樣的題目
93*52=?
69*96=?
58*72=?
36*95=?

另外傳統式數學和建構式數學應該不是3+3+3+3+3和3*5這樣簡單的差別
以我的理解是
建構式數學是老師"引導"學生自己去發掘計算題目的方法
傳統式數學是老師"直接"告訴學生計算題目的方法

會這樣說應該是建立在一個學生在老師
(建構式)完全不教他乘法的情況下
(傳統式)直接告訴他乘法
而現在通常是混合吧，沒有那嚜極端貫徹建構式教學的老師，連乘除都要學生自己發掘

拿一題的計算來說
15*63=?
應該很少人會拿15加63次
或是拿63加15次

傳統式(平常用的乘法)
15*63=45+900=945

建構式(應該是會因人而異才對)
以我來說
15*63 = 10*60 + 5*60 + 3*10 + 5*3
=600 + 300 + 30 +15
=945
看起來比較多的計算，但都是很簡單的計算，600...300...30..15，以致於不用拿筆就可以心算出來

而你說的一個題目一個解法就比較偏向傳統式的教法，建構式就是引導學生自己去發掘題目計算的方法，因為有課程排太多，所以老師要趕課沒時間讓你慢慢引導你等等原因

2014-12-12 20:21:17 補充：
繼回答003

所以現在大部分的老師(我遇到的)都是先教一下觀念，然後就直接教你解題，一個題目一個解法，有特別的就順便告訴提一下。

讀數學的方面，我的建議是，當學到新的觀念時，用你"以前學的方法"給他算一次，例如三角函數的題目(想到的例子都是他)，硬是用勾股定理和相似形解他，解不出來就是你的觀念有地方需要修正，用你自己的方式解出來之後，然後再用新學到的方法解一次，比較一下，然後人與生俱來的惰性會引導你選一個比較方便的解法。


字數超過限制了
建議問題比較深的話分開來發問比較能回答得清楚

2014-12-12 20:22:51 補充：
超過字數限制了，下文繼意見001