一題數列相關證明的問題 15點

我只欠

e < { 1 + 1/n }^(n+1)

這個部份。

其餘全數完成了...

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2014-12-08 19:17:31 補充：
老怪物 師父 英明，請作答。

╭∧---∧╮
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╰/) ⋈ (\\╯

2014-12-09 02:11:52 補充：
其實重點是
(1 + 1/n)^n 是遞增，且小於 3，故作為極限的 e 必定 convergent。

你的補充題不難：
Area
= ∫[-1 ~ 1] (1 - x⁴) dx
= [x - x⁵/5]at 1 - [x - x⁵/5]at (-1)
= 2(1 - 1/5)
= 2 * 4/5
= 8/5

2014-12-11 04:39:18 補充：
嗚謝 老怪物 師父！！！


圖片參考：https://s.yimg.com/rk/HA00430218/o/801438631.png


對於補充發問的積分面積題，請看意見欄的解答。

Lemma: 設 x > -1 則 for all positive integer n, we have (1+x)^n > or = 1+nx.

令 a(n) = (1+1/n)^n, b(n) = (1+1/n)^{n+1}, 則 a(n)↑, b(n)↓.

a(n+1)/a(n) = [1-1/(n+1)^2]^n [1+1/(n+1)] > = [1-n/(n+1)^2][1+1/(n+1)] > 1
故 a(n+1) > a(n) for all n = 1,2,3,....

2014-12-08 19:06:06 補充：
b(n)/b(n+1) = {1+1/[n(n+2)]}^{n+1} [1-1/(n+2)]
> = {1+(n+1)/[n(n+2)]} [1-1/(n+2)] > 1
故 b(n+1) < b(n), for all n=1,2,3,...


b(n) 顯然下方有界, 故收斂.
a(n) < b(n) for all n, 因此 a(n) 亦上方有界, 故 a(n) 亦收斂.

b(n)/a(n) = 1+1/n 收斂至 1, 故 lim a(n) = lim b(n).

2014-12-09 10:34:04 補充：
題目辰主要是要證明數列收斂, 不等式是附帶的.

前面我就是簡述證明極限存在的一個方法.

2014-12-09 10:34:18 補充：
因為 (1+1/n)^n 遞增而 (1+1/n)^{n+1} 遞減, 而且兩數列有共同
極限, 以 e 名之.
因此, (1+1/n)^n < e < (1+1/n)^{n+1}, for all n = 1,2,3,...

n=1 時得 2 < e < 4
n=2 時得 9/4 < e < 27/8
n=3 時得 64/27 < e < 256/81
n=4 得 625/256 < e < 3125/1024
n=5 得 7776/3125 < e < 46656/15625 < 3
故 2 < e < 3.

感動貓 大大

那你要回答看看嗎?!

還是你想到了呢?~

2014-12-08 22:20:23 補充：
小弟有補充一題喔~

希望能幫忙解答>