高一數學，有關多項式的問題

實係數多項式的圖形必然是連續的
因此F(α)F(β)<0的情形可以用圖形來說明：
F(α)和F(β)一正一負，分別在X軸上下
所以F(α<變數<β)的圖形至少經過X軸一次
再多就是三次、五次、七次......奇數次

同樣的，F(α)F(β)>0的情形也可以用圖形來說明：
F(α)和F(β)同正或同負，都在X軸之上或X軸之下
所以F(α<變數<β)的圖形可能不經過X軸
但也可能經過兩次、四次、六次......偶數次

所以前三個選項只有(B)是絕對正確的
接著討論(D)和(E)。兩個選項有一個共同條件：F(1+i)=0

F(1+i)=0 →F(X)有因式K1[X-(1+i)]
F(X)= 因式K1[X-(1+i)]和另外兩個因式的乘積
由於F(X)是奇數次的實係數多項式
所以另外兩個因式必須包含K2[X-(1-i)]和K3(X-R)
意即F(X)= K1K2K3[X-(1+i)][X-(1-i)](X-R)
= K[X-(1+i)][X-(1-i)](X-R)
其中K1、K2、K3、K、R皆為任意實數
相關定理的詳細說明請參考附上的網址~

(D)R就是F(X)的唯一實根
(E)F(α)<0，F(β)>0 →R的大小在α和β之間
若F(α-1)>0，則F(α)F(α-1)<0 →R的大小在α和α-1之間
然而β不一定=α-1

ANS：(B)(D)