[數學]有幾道題唔識~

[匿名]

2014-12-03 3:27 am

1.採用如下方法計算x^3的導數:將x看成常數,t看成變數,把(x+t)^3展開成t的多項式,一次項係數就是x^3的導數.

2.按照如下提示求前n個正整數的4次方和S(n)=1^4+2^4+...+n^4.(1) S(n)-S(n-1)=n^4. 如果S(n)是多項式,則S(n)-S(n-1)是比S(n)低一次的多項式. 要使S(n)-S(n-1)=n^4, S(n)應是5次多項式.用待定係數法設S(n)=an^5+bn^4+cn^3+dn^2+hn,代入S(n)-S(n-1)=n^4可得到關於待定係數a,b,c,d,h的方程組，解方程組求出這些係數，就得到S(n).

3. 將1/7和1/13化成小數,計算出它們的迴圈節D各是多少位?將D的前k位(k=1,2,...)移到末尾,得到的整數是否D的整數倍? 計算D平均分成兩段之和或3段之和,你發現什麼規律? (仿射密碼)將26個英文字母a,b,c,...,y,z依次用非負整數0,1,2,...,24,25代表.查出待加密的字母d對應的整數X,記Y=f(X)≡9X+1(mod26)為9X+1被26除得到的餘數,則X對應的字母加密成Y對應的字母. 試將原文day加密求密文.

4.(公開金鑰)採用如下方式將每個小於91的正整數X加密成Y≡X^5 (mod 91), Y是X的5次冪被91除的餘數. 一般的資訊可以表示成多位元正整數,從個位開始每兩位分成一段,每段小於91,分段加密.例如原文為2922,分別對29,22加密再湊成4位即得密文.(1) 將2922加密. (2) 將2922解密. (3) 將0529解密.

5.找一篇英文文章,統計26個字母在其中各出現多少次,各占百分之幾?哪個字母出現得最多

6.在有理數範圍內分解因式x^{12}+x^9+x^6+x^3+1.

7.i表示左轉90度. i的立方根表示旋轉多少度? 試寫出i的全部立方根.

回答 (1)

用戶2053

2014-12-13 3:26 am

✔ 最佳答案

1) (從略)2) (從略)3)1/7 = 0.142857 142857 ... 迴圈節D是6位。
因 1+4+2+8+5+7 = 27 為3的倍數,當前 k = 2,3,4 位移到末尾,
得到的整數是D=6的整數倍。1/13 = 0.076923 076923 ...迴圈節D是6位。
因 0+7+6+9+2+3 = 27 為3的倍數,當前 k = 1,3,5 位移到末尾,
得到的整數是D=6的整數倍。D平均分成兩段之和 = 142+857 = 999 = 076 + 923。
D平均分成三段之和 = 14+28+57 = 99 = 07+69+23。
規律:
10000ab + 100cd + ef = 999999 / k , (k = 7 , 13)
ab + cd + ef + 9999ab + 99cd = 10101 × 99 / k
因 1001 被 7 或 13 整除, 故 ab + cd + ef 必為 99 的整數倍。
類似可證兩段之和 = 999。
(仿射密碼)
d = 3 , Y = f(3) ≡ 9(3)+1 ≡ 2(mod26) , Y = c。
a = 0 , Y = f(0) ≡ 9(0)+1 ≡ 1(mod26) , Y = b。
y = 24 , Y = f(24) ≡ 9(24)+1 ≡ 9(mod26) , Y = h。
day加密 = cbh。
4)1)
29⁵(mod 91) = 22 , 22⁵(mod 91) = 29,
2922加密 = 2229。4)2)
由 4)1) 知 2922解密 = 2229。4)3)
設X加密 = 05 , 則 X⁵(mod 91) ≡ 05。
若 X⁵(mod 91) ≡ Y , 則 Y⁵ ≡ X²⁵ (mod 91)
今考慮 X²⁵ - X = X(X²⁴- 1), 而 X⁶- 1 及 X¹² - 1 整除 X²⁴- 1 ,
故 X⁶- 1 及 X¹² - 1 整除 X²⁵ - X , 又由費馬小定理知
7 整除 X⁶- 1 及 13 整除 X¹² - 1 , 從而 91 整除 X²⁵ - X, 即 X²⁵≡ X (mod 91) ,
於是 Y⁵ ≡ X (mod 91) , 令 Y = 05 , 5⁵ ≡ 3125 ≡ 31 (mod 91) , 得 X = 31,
故 0529解密 = 3122。 5) (從略)6)x¹² + x⁹ + x⁶+ x³ + 1
明顯 x - 1 不是其因式, 令 x⁵- 1 = (x - 1)(x⁴+ x³ + x² + 1) = 0 ,
因 x ≠ 1, 故 x⁴+ x³ + x² + 1 = 0。
則 x¹² + x⁹ + x⁶+ x³ + 1 = (x⁵)²x² + x⁵x⁴+ x⁵x + x³ + 1
= x² + x⁴+ x + x³ + 1 = 0 , 故 x⁴+ x³ + x² + 1 為其一因式。
∴ x¹² + x⁹ + x⁶+ x³ + 1 = (x⁴+ x³ + x² + 1) (x⁸- x⁷+ x⁵- x⁴+ x³ - x + 1)。7)i = cos90° + i sin90°
i 的立方根 = cos ⅓(90°+ 360°k) + i ⅓(90°+ 360°k) , (k = 0 , 1 , 2)
i 的立方根 = cos30° + i sin30° , cos150° + i sin150° , cos270° + i sin270°
∴ i 的立方根表示旋轉 30° , 150° , 270° ;
i 的全部立方根 = ½(√3 + i) , ½(-√3 + i) , - i 。

2014-12-12 19:31:47 補充：
修正:
y = 24 , Y = f(24) ≡ 9(24)+1 ≡ 9(mod26) , Y = h。
day加密 = cbj。

2014-12-12 19:32:40 補充：
Y = j

👍 0 👎 0