[數學]有幾道題唔識~

1) (從略)2) (從略)3)1/7 = 0.142857 142857 ... 迴圈節D是6位。
因 1+4+2+8+5+7 = 27 為3的倍數,當前 k = 2,3,4 位移到末尾,
得到的整數是D=6的整數倍。1/13 = 0.076923 076923 ...迴圈節D是6位。
因 0+7+6+9+2+3 = 27 為3的倍數,當前 k = 1,3,5 位移到末尾,
得到的整數是D=6的整數倍。D平均分成兩段之和 = 142+857 = 999 = 076 + 923。
D平均分成三段之和 = 14+28+57 = 99 = 07+69+23。
規律:
10000ab + 100cd + ef = 999999 / k , (k = 7 , 13)
ab + cd + ef + 9999ab + 99cd = 10101 × 99 / k
因 1001 被 7 或 13 整除, 故 ab + cd + ef 必為 99 的整數倍。
類似可證兩段之和 = 999。
(仿射密碼)
d = 3 , Y = f(3) ≡ 9(3)+1 ≡ 2(mod26) , Y = c。
a = 0 , Y = f(0) ≡ 9(0)+1 ≡ 1(mod26) , Y = b。
y = 24 , Y = f(24) ≡ 9(24)+1 ≡ 9(mod26) , Y = h。
day加密 = cbh。
4)1)
29⁵(mod 91) = 22 , 22⁵(mod 91) = 29,
2922加密 = 2229。4)2)
由 4)1) 知 2922解密 = 2229。4)3)
設X加密 = 05 , 則 X⁵(mod 91) ≡ 05。
若 X⁵(mod 91) ≡ Y , 則 Y⁵ ≡ X²⁵ (mod 91)
今考慮 X²⁵ - X = X(X²⁴- 1), 而 X⁶- 1 及 X¹² - 1 整除 X²⁴- 1 ,
故 X⁶- 1 及 X¹² - 1 整除 X²⁵ - X , 又由費馬小定理知
7 整除 X⁶- 1 及 13 整除 X¹² - 1 , 從而 91 整除 X²⁵ - X, 即 X²⁵≡ X (mod 91) ,
於是 Y⁵ ≡ X (mod 91) , 令 Y = 05 , 5⁵ ≡ 3125 ≡ 31 (mod 91) , 得 X = 31,
故 0529解密 = 3122。 5) (從略)6)x¹² + x⁹ + x⁶+ x³ + 1
明顯 x - 1 不是其因式, 令 x⁵- 1 = (x - 1)(x⁴+ x³ + x² + 1) = 0 ,
因 x ≠ 1, 故 x⁴+ x³ + x² + 1 = 0。
則 x¹² + x⁹ + x⁶+ x³ + 1 = (x⁵)²x² + x⁵x⁴+ x⁵x + x³ + 1
= x² + x⁴+ x + x³ + 1 = 0 , 故 x⁴+ x³ + x² + 1 為其一因式。
∴ x¹² + x⁹ + x⁶+ x³ + 1 = (x⁴+ x³ + x² + 1) (x⁸- x⁷+ x⁵- x⁴+ x³ - x + 1)。7)i = cos90° + i sin90°
i 的立方根 = cos ⅓(90°+ 360°k) + i ⅓(90°+ 360°k) , (k = 0 , 1 , 2)
i 的立方根 = cos30° + i sin30° , cos150° + i sin150° , cos270° + i sin270°
∴ i 的立方根表示旋轉 30° , 150° , 270° ;
i 的全部立方根 = ½(√3 + i) , ½(-√3 + i) , - i 。

2014-12-12 19:31:47 補充：
修正:
y = 24 , Y = f(24) ≡ 9(24)+1 ≡ 9(mod26) , Y = h。
day加密 = cbj。

2014-12-12 19:32:40 補充：
Y = j