數奧期望值問題1題~~~

六、(7分) 某班有15 位男同學、17 位女同學舉行冬季旅遊活動, 要在營火晚會時大家手牽手圍成一圈唱歌。令隨機變數X 的取值為男女同學牽到手的對數。
例如: 如果男生、女生都連續排在一起, 則X = 2. 在每一種環狀排列出現的機率均等的情況下, 試問X 的期望值等於多少?(化為最簡分數) ⃝⃝

解析:男女同學牽手對數 X 的取值為 2 至 30 的偶數。當 X = 30 , 先排30對牽手男女(15男15女)如下(頭尾相接圍成一圈):
↔男女男女男女男女男女男女男女男女男女男女男女男女男女男女男女↔
把餘下的2位女同學任意加入上圈的15位女同學中,例如:
↔男女男女男女男女男女男女男女男女(女)(女)男女男女男女男女男女男女男女↔
又如
↔男女男女男女男女男女(女)男女男女男女男女男女男女男女男女男女男女(女)↔加入的方法數等同於從圈中15位女同學選出2人的可重組合
= 15H2 = (15+2-1)C2 = 16C2 , 故這樣的圓排列共 16C2 / 15 種,
牽手總對數 = (16C2 / 15) × 30 = 2(16C2 × 14C0)。 當 X = 28 , 先排28對牽手男女(14男14女頭尾相接圍成一圈)。

把餘下的3位女同學任意加入上圈的14位女同學中,加入的方法數等同於從圈中14位女同學選出3人的可重組合, 而餘下的1位男同學任意加入上圈的14位男同學中,
加入的方法數等同於從圈中14位男同學選出1人的可重組合, 故加入的方法總數
= 14H3 × 14H1 = (14+3-1)C3 × (14+1-1)C1 = 16C3 × 14C1 , 故這樣的圓排列共 16C3 × 14C1 / 14 種,
牽手總對數 = (16C3 × 14C1 / 14) × 28 = 2(16C3 × 14C1)。餘此類推,
當 X = 26 , 牽手總對數 = 2(16C4 × 14C2)。
.....................................................................
.....................................................................
當 X = 4 , 牽手總對數 = 2(16C15 × 14C13)。
當 X = 2 , 牽手總對數 = 2(16C16 × 14C14)。理論上把以上的牽手總對數加總後再除以15男17女的圓排列方法數
　　(15+17)!
─────────── 即得答案, 但以上15項牽手對數求和的直接計算量很大,
(15+17)(15!)(17!) 在無計算器的賽場中必須尋求簡捷算法以應付之。考慮 16C2 × 14C0 + 16C3 × 14C1 + ... + 16C15 × 14C13 + 16C16 × 14C14
= 16C14 × 14C0 + 16C13 × 14C1 + ... + 16C1 × 14C13 + 16C0 × 14C14此式的意義可理解為從 16位女士 及 14位先生中任意選出 14 人的方法總數
= (16+14)C14 , 　　　　　　　　　　　　　　　　(15+17)!
故 X 的期望值 = 2 × (16+14)C14 ÷ ───────────
　　　　　　　　　　　　　　 (15+17)(15!)(17!) = 2 × 30! / (16! × 14!) × (15!)(17!) ÷ 31!
= 2 × 30! × 15 × 17 ÷ 31!
= 2 × 15 × 17 ÷ 31
= 510 / 31


圖片參考：https://s.yimg.com/rk/HA04628698/o/1755793042.jpg

高中範圍的期望值問題，常用以下思路:

1. 利用期望值的定義: ∑ n*Pn

2. 利用期望值的意義: 期望值表示"平均"的概念

3. 利用期望值的性質: 期望值具有"和"的性質，獨立變數的期望值另具有"積"的性質

4. 利用遞迴關係

2014-12-15 23:27:00 補充：
(承上)

本題可用期望值具有"和"的性質來解題:

一對男女牽手，即包含 1 隻男手與 1 隻女手。

考慮某 1 隻男手牽到女手的機率，為 17/31。

一共有 30 隻男手，因此，x 的期望值 = (17/31)*1*30 = 510/31

當然，用"女手"來算亦可: (15/31)*1*34 = 510/31

2014-12-15 23:34:06 補充：
(承上)

最佳解答則用了期望值表示"平均"的概念來解題 (總牽手對數除以總排列數)，其中總牽手對數是以"牽手對數的可能值"分類。而若以"一對牽手的可能位置"來分類，可列式如下:

2*32*C(30,14) / C(32,15) = 510/31