半圓與直線

此半圓為圓心座標(0,0)、半徑為1，且圖形在正y軸方向


求 y = 2x + k 與此半圓恰有一實數解時，k的範圍為何??


(1) 考慮此直線與半圓相切時，圓心到直線距離為半徑長。

│k│/ √ (5) = 1

→ k = √ 5 or - √ 5 由圖形可知 -√ 5 不合，此時 k = √ 5.............................A



(2)考慮此直線與半圓相交於兩點時，圓心到直線距離小於半徑長

但這個情況無須代公式，只需將約略圖形畫出來即可知道 k 的範圍！

由此半圓圖形可知，直線要與半圓相交兩點，半圓內的弦達到最長時，弦的其中一

點座標為(-1,0)，將(-1,0)帶入直線方程式，可得此時k = 2

→ 相交於兩點的範圍為 2 ≦ k < √ 5................................................................B


(3)考慮直線與半圓相交且只交於一點：

由(2)的結果可以知道，k < 2 時直線即開始與半圓相交於一點，但此情況k值也有其

極限，從半圓的圖形可知，將此直線平移最後會與半圓相交於(1,0)，把(1,0)代入直

線方程式，可得 k = -2，與(2)之範圍結合可得 -2 ≦ k < 2.............................C




結合ABC三個結果，直線要與半圓交於一點的k範圍為 k = √ 5 or -2 ≦ k < 2

在平面座標系上觀察半圓和直線相交的情形
發現當-1<直線的x截距<=1時
以及直線和半圓在第二象限相切時
兩者僅有一個交點

(1)-1<直線的x截距<=1
直線Y=2X+K，2X-Y=-K
X/(-K/2) +Y/K =1
此為截距式，故-1<-K/2<=-1
2>K>=-2

(2)直線和半圓在第二象限相切
利用點到直線的距離公式
半圓圓心(0,0)到直線2X-Y+K=0的距離=半圓半徑
|2*0 +(-1)*0 +K| / √[2^2 +(-1)^2] =1
|K|=√5，K=±√5
K=√5，直線在第二象限
K=-√5，直線在第四象限
故取K=√5

ANS：K=√5 OR -2<=K<2