高中數學機率問題

考慮 (u1 + u4) + (u2 + u5) + (u3 + u6) = 0
情況一 :
(u1 + u4) = (u2 + u5) = (u3 + u6) = 0 ,
機率 = P(第1、4次 及 第2、5次 及 第3、6次投擲結果皆為一正一反)
= 1/2 × 1/2 × 1/2 = 1/8情況二 :
½ (u1 + u4) = ± A5A6 , ½ (u2 + u5) = ± OA5 , ½ (u3 + u6) = ± OA6
共 2 × 2 × 2 = 8種情況,
機率 = P(第1、4次投擲結果相同 ; 第2、5次投擲結果相同 ; 第3、6次投擲結果相同) = 1/2 × 1/2 × 1/2 = 1/88種情況當中符合 (u1 + u4) + (u2 + u5) + (u3 + u6) = 0 的有2種情況如下:
A5A6 + OA5 - OA6 = 0 和 - A5A6 - OA5 + OA6 = 0 ,
機率 = 2/8綜合兩種情況,所求機率 = 1/8 + 1/8 × 2/8 = 5/32

2014-11-30 01:18:29 補充：
Tips : 任兩次投擲結果有四種情況: 正正 正反 反正 反反。
∴ 任兩次投擲結果為一正一反(正反 或 反正) = 2/4 = 1/2 ,
任兩次投擲結果相同(正正 或 反反) = 2/4 = 1/2。

2014-11-30 01:30:30 補充：
修正:

情況一 :
(u1 + u4) = (u2 + u5) = (u3 + u6) = 0 ,
機率 = P(第1、4次投擲結果相同 ; 第2、5次投擲結果相同 ; 第3、6次投擲結果相同)

情況二 :
½ (u1 + u4) = ± A5A6 , ½ (u2 + u5) = ± OA5 , ½ (u3 + u6) = ± OA6 共 2 × 2 × 2 = 8種情況, 機率 = P(第1、4次 及 第2、5次 及 第3、6次投擲結果皆為一正一反)

2014-11-30 01:34:58 補充：
感謝感恩貓知識長的指正, 答案已修正。

參考看看他的答案
ＴＳ７７７。ＣＣ

的確，要計到 5/32 不難。
但要解釋清楚則比較難。

這樣說吧，由於６次投擲是獨立的，我分為三組看：
（１，４），（２，５），（３，６）

考慮兩個情況：
（１，４）相同方向：機率 = 1/2

（１，４）不同方向：機率 = 1/2

2014-11-29 23:38:55 補充：
一、先考慮（１，４）相同方向

若１，４皆向右，那麼要六步回歸原點，２，５必須向左下，３，６必須向左上，機率 = (1/2)^4。

若１，４皆向左，那麼要六步回歸原點，２，５必須向右下，３，６必須向右上，機率 = (1/2)^4。

故此，情況一的機率（連同原本的 1/2）是
(1/2) × (1/2)^4 = 1/32

2014-11-29 23:40:19 補充：
二、再考慮（１，４）相反方向，即１，４己互相抵消。

（２，５）也須互相抵消，機率 = 1/2。

（３，６）也須互相抵消，機率 = 1/2。

故此，情況二的機率（連同原本的 1/2）是
(1/2) × (1/2) × (1/2) = 1/8


所以，答案是 1/32 + 1/8 = 5/32

2014-11-29 23:42:40 補充：
或者我再補充一下情況一那裏，可能你不是太明白。

就是說，只要１，４方向相同，不論是皆左或皆右，餘下的四步必須持相反方向（即左則右，右則左）才能回歸原點，故四步都只有一個選項可取，因此有 (1/2)^4 一著。

2014-11-30 01:13:59 補充：
雨後前輩的【情況一】指的投擲結果皆為一正一反，其實應該是指兩正或兩反，這才使行走方向一前一後互相抵消。

〔因為 OA₁ 和 OA₄ 的方向本身相反。〕

2014-11-30 01:39:36 補充：
Thanks!

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