幾題直線與圓的問題

1.
L: kx - y - k - 1 = 0 ...... [1]
C: x² + y² - 4x- 2y + 1 = 0 ... [2]

由 [1]:
y = kx - k - 1 ... [3]

把 [3] 代入[2] 中：
x² + (kx - k - 1)² - 4x- 2(kx - k - 1) + 1 = 0
(k² + 1)x² -(2k² + 4k + 4)x + (k² +4k + 4) = 0 ... [4]

[4] 的判別式 > 0
(2k² + 4k + 4)² -4(k² + 1)(k² +4k + 4) > 0
3k² + 3k > 0
(k + 1)k > 0
k < -1 或 k> 0


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2.
(a)
設 C 的座標為(c, 0)，P 的座標為(0, p)。

PA = PB
√[(0 - 2)² + (p - 2)²] =√[(0 - 0)² + (p - 4)²]
p = 2
P 的座標 = (0,2)

(b)
PC = PB
√[(0 - c)² + (2 - 0)²] =√[(0 - 0)² + (2 - 4)²]
C 的座標 = (0,0)


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3.
(1)
C: (x + 2)² + (y - 3)² = 2...... [1]
L: x + y + k = 0 ...... [2]

由 [2]:
y = -x - k ...... [3]

把 [3] 代入[1] 中:
(x + 2)² + (-x - k - 3)² = 2
2x² + (2k + 10)x + (k² +6k + 11) = 0 ...... [4]

[4] 的判別式 < 0
(2k + 10)² - 4(2)(k² +6k + 11) < 0
k² + 2k - 3 > 0
(k + 3)(k - 1) > 0
k < - 3 或 k> 1

(2)
[4] 的判別式 = 0
(2k + 10)² - 4(2)(k² +6k + 11) = 0
(k + 3)(k - 1) = 0
k = -3 或 k = 1

把 k = -3 代入[4] 中:
2x² + [2(-3) + 10]x + (-3)² +6(-3) + 11 = 0
x = -1
代入 [3] 中:
y = 4

把 k = 1 代入[4] 中:
2x² + [2(1) + 10]x + (1)² +6(1) + 11 = 0
x = -3
代入 [3] 中:
y = 2

切點座標 = (-1,4) 或 (-3, 2)


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4.
設切點的斜率為 m。

圓: x² +y² = 2 ...... [1]
切線: y + 1 = m(x - 3) ...... [2]

由[2]:
y = mx - 3m - 1 ...... [3]

把 [3] 代入[1] 中:
x² + [mx - (3m - 1)]² =2
(m² + 1)x² -(6m² + 2m)x + (9m² +6m - 1) = 0 ...... [4]

[4] 的判別式 = 0
(6m² + 2m)² -4(m² + 1)(9m² +6m - 1) = 0
(7m - 1)(m + 1) = 0
m = 1/7 或 m = -1

當 m = 1/7:
[(1/7)² + 1]x² -[6(1/7)² + 2(1/7)]x + [9(1/7)² +6(1/7) - 1] = 0
x = 1/5
代入 [3] 中:
y = -7/5

當 m = -1:
[(-1)² + 1]x² -[6(-1)² + 2(-1)]x + [9(-1)² +6(-1) - 1] = 0
x = 1
代入 [3] 中:
y = 1

A 和 B 的座標分別為(1/5, -7/5) 及 (1, 1)。

ΔAPB 面積
= (1/2)[(1)(-7/5) + (1/5)(-1) + (3)(1) - (1)(1/5) - (-7/5)(3) - (-1)(1)]
= 16/5 (平方單位)

第一題
直線L與圓C相交於相異兩點
則直線L與圓心C的距離<圓C的半徑......=時交於切點，>時無交點
接著我們可以利用點(Xo,Yo)到直線AX+BY+C=0的距離公式：
|AXo+BYo+C| / √(A^2 +B^2)

直線L：A=K, B=-1, C=-k-1
圓C：X^2 +Y^2 -4X-2Y+1 =0 → (X-2)^2 +(Y-1)^2 =4
Xo=2, Yo=1, R^2=4

|2K-1-K-1|/√(K^2 +1)
[(K-2)^2]/(K^2 +1)
(K^2 -4K+4)/(K^2 +1) -4 <0
(-3K^2 -4K)/(K^2 +1) <0
(3K^2 +4K)/(K^2 +1) >0

由於K^2 +1>0，所以3K^2 +4K >0
後者因式分解得K(3K+4)>0
K>0 OR K<-4/3......比大的大，比小的小


第二題
由於PA=PB，所以P在AB的中垂線上

AB的中垂線通過AB中點(1,3)
斜率為-(1/AB斜率) =1
利用點斜式可得中垂線Y-3 =1(X-1) =X-1
Xp=0, Yp=0-1+3=2 →P(0,2)

由於CP=AP=BP=2
所以C是原點


第三題
同理於第一題的解法，故直接代公式不贅述

沒有交點時(-2+3+K)^2 /(1+1) >2
K^2 +2K+1 >4
K^2 +2K-3 >0
(K+3)(K-1)>0
K>1 OR K<-3

交於一點時(-2+3+K)^2 /(1+1) =2
K=1 OR -3
兩切線X+Y+1=0 OR X+Y-3=0

(1)X+Y+1=0，X=-Y-1代入圓方程式
(-Y+1)^2 +(Y-3)^2 =2......(-Y+1)^2 = (Y-1)^2
2Y^2 -8Y+8 =0，(Y-2)^2 =0
Y=2，X=-2-1=-3，切點(-3,2)

(2)X+Y-3=0，Y=-X+3代入圓方程式
(X+2)^2 +(-X)^2 =2
2X^2 +4X+2 =0，(X+1)^2 =0
X=-1，Y=1+3=4，切點(-1,4)


第四題
設PO和AB交於C
△PAC ~ △POA，故AC：CP：PA = OA：AP：PO

PA= √(PO^2 -OA^2) =√[ (3-0)^2 +(-1-0)^2 -R^2 ] =√8
AC：PA = OA：PO = R：PO
AC：√8 = √2：√10，AC= √16 /√10 =4/√10
AB=2AC =8/√10

CP：PA = AP：PO
CP= (√8)^2 /PO =8/√10

所求=AB*CP/2 = (8/√10)^2 /2 =3.2 =16/5