由平方差公式作因式分解

"只可拼成一種長方形"，所以這個長方形的闊只可能是 1，

假設它的長是 L，則

n x n－81＝1 x L

==> (n－9)x(n＋9)＝1 x L

即 n－9＝1 及 n＋9＝L

所以，滿足此條件的 n 值是 10。

1不被視為質數
且......

N=14，(N-9)(N+9) = 5 x 23 = 1 x 115
可以拼成兩種長方形......

N=20，(N-9)(N+9) = 11 x 29 = 1 x 319
可以拼成兩種長方形......

（n-9) x (n+9) 是唯一長方形，只需（n-9) 及 (n+9) 皆為質數即可滿足“唯一長方形” 的條件。 因此
n = 10, (n-9) x (n+9) = 1 x 19
14, (n-9) x (n+9) = 5 x 23
20, (n-9) x (n+9) = 11 x 29
…
只要兩質數之差為18皆為可能之解。