a1>a2>a3,b1,b2,b3為正數,試證1/(x-a1

a1>a2>a3，b1，b2，b3為正數，試證b1/(x－a1)+b2/(x－a2)+b3/(x－a3)=1，
有三個實數根
Sol
b1/(x－a1)+b2/(x－a2)+b3/(x－a3)=1
b1(x－a2)(x－a3)+b2(x－a1)(x－a3)+b3(x－a1)(x－a2)=(x－a1)(x－a2)(x－a3)
設f(x)=(x－a1)(x－a2)(x－a3)－b1(x－a2)(x－a3)－b2(x－a1)(x－a3)
－b3(x－a1)(x－a2)
f(a1)=－b1(a1－a2)(a1－a3)<0
f(a2)=－b2(a2－a1)(a2－a3)>0
f(a3)=－b3(a3－a1)(a3－a2)<0
　　　＜０　　　　　　＞０　　　　　＜０
　　　ａ３　　　　　　ａ２　　　　　ａ１
────＊───────＊──────＊────
So
f(a3)*f(a2)<0
(a3，a2)中至少有1實根
f(a2)*f(a1)<0
(a2，a1)中至少有1實根
已經找到2實根
So
有三個實根

使用勘根定理前，先說明F(X)於R是連續會更好。
因為F(X)在R不連續的話，就不能使用勘根定理。

B1/(X-A1) +B2/(X-A2) +B3/(X-A3) =1
B1(X-A2)(X-A3) +B2(X-A1)(X-A3) +B3(X-A1)(X-A2) = (X-A1)(X-A2)(X-A3)
B1(X-A2)(X-A3) +B2(X-A1)(X-A3) +B3(X-A1)(X-A2) -(X-A1)(X-A2)(X-A3) =0
令左式為F(X)

F(A1)= B1(A1-A2)(A1-A3) → (+)*(+)*(+) >0
F(A2)= B2(A2-A1)(A2-A3) → (+)*(-)*(+) <0
F(A3)= B3(A3-A1)(A3-A2) → (+)*(-)*(-) >0
F(X小於A3)= B1/(X-A1) +B2/(X-A2) +B3/(X-A3) → (-)+(-)+(-) <0

根據勘根定理得知
F(A1)*F(A2) <0 → 至少有一實數根比A1小，但是比A2大
F(A2)*F(A3) <0 → 至少有一實數根比A2小，但是比A3小
F(A3)*F(X小於A3) <0 → 至少有一實數根比A3小

然而F(X)最多有三個實數根
顯然F(X)恰有三個實數根

高中的勘根定理可得證