多項式函數求解!

1.f(x)除以(x－a)(x－b)餘式為3x+5，除以(x－b)(x－c)餘式為4x－1，
除以(x－a)(x－c)餘式為5x－3求a，b，c各為?
Sol
設f(x)=q(x)(x－a)(x－b)(x－c)+m(x－a)(x－b)+3x+5
f(a)=5a－3=3a+5
a=4
f(b)=4b－1=3b+5
b=6
f(c)=4c－1=5c－3
c=2

2.f(x)除以(x－a)(x－b)(x－c)的餘式為?
Sol
f(x)=q(x)(x－4)(x－6)(x-2)+m(x－4)(x－6)+3x+5
f(c)=m(c－4)(c－6)+3c+5=4c－1
m*(－2)*(－4)+6+5=8－1
m=－1/2
餘式=(－1/2)(x－4)(x－6)+3x+5
=(－1/2)(x^2－10x+24)+3x+5
=－x^2/2+8x－7

3
(1)設a為正整數，若x^5－ax+2=0有有理根，a=?
Sol
f(x)=x^5－ax+2
degf(x)=5
5為奇數
f(x)一定至少有一實根
可能有理根1，－1，2，－2
1－a+2=0=>a=3
(－1)+a+2=0=>a=－1(不合)
32－2a+2=0=>a=17
(－32)+2a+2=0=>a=15
So
a=3or 15 or 17
(2)試判別x^5+2x+2=0有幾個無理根?
Sol
f(x)可能有理根1，－1，2，－2
f(1)=1+2+2=5>0
f(－1)=－1－2+2=－1<0
f(2)=32+4+2=38>0
f(－2)=－32－4+2=－34<0
f(x)無有理根
　　　　＜０　　　　＜０　　　　＞０　　　　＞０　　　　＞０
　　　－２　　　　－１　　　　　０　　　　　１　　　　　２
────＊─────＊─────＊─────＊─────＊─
f(x)只在(－1，0)有1or 3 or 5個實根
－1<x1<x2<0
x1^5<x2^5
x1<x2
f(x1)<f(x2)
f(x)在(－1，0)只有1個實根
x^5+2x+2=0有1個無理根

第一題
F(X)= Q1(X)*(X-a)(X-b) +3X+5 ~ (一)
F(X)= Q2(X)*(X-b)(X-c) +4X-1 ~ (二)
F(X)= Q3(X)*(X-a)(X-c) +5X-3 ~ (三)

由(一)和(三)知：F(a)= 3a+5 = 5a-3
由(一)和(二)知：F(b)= 3b+5 = 4b-1
由(二)和(三)知：F(c)= 4c-1 = 5c-3

ANS：4, 6, 2


第二題
F(X)= Q1(X)*(X-4)(X-6) +3X+5 ~ (一)
F(X)= Q2(X)*(X-6)(X-2) +4X-1 ~ (二)
F(X)= Q3(X)*(X-4)(X-2) +5X-3 ~ (三)

F(X)= Q(X)*(X-4)(X-6)(X-2) +AX^2+BX+C
= Q(X)(X-4)*(X-6)(X-2) +A(X-6)(X-2) +4X-1......利用(二)

F(4)= -4A +15 =17......利用(一)或(三)
A= -1/2
所求= A(X-6)(X-2) +4X-1

ANS：(-1/2)X^2 +8X -7


第三題第一小題
X^5 -aX +2 =0
aX= X^5 +2

若X是0，則0 = 0+2，矛盾
故X不是0......反證法
X不是0就可以放心地同除以X
a= X^4 +2/X

X若是有理數，則X可能是最簡分數或整數
假設X是最簡分數Q/P，P、Q為整數，(P, Q)=1
a= (Q^4)/P^4 +2P/Q......
a= (Q^5 +2P^5)/QP^4
顯然分子沒有因數QP^4來約分分母
a不是正整數，矛盾
所以X只能是整數...反證法

a= X^4 +2/X
2/X = a -X^4
顯然等號右邊是整數
所以等號左邊也是整數
意即2/X是整數
X= ±(1或2)

X=2，a= 17
X=1，a=3
X= -1，a= -1
X= -2，a= 15

ANS：3, 15, 17


第三題第二小題
令F(X)= X^5 +2X +2 =0
以下利用勘根定理

F(>0) >F(0)=2 >0，F(0)=2
F(0)*F(>0) >0，X沒有正實數根

F(0)=2，F(-1)= -1
F(0)*F(-1) <0 → 0~ -1(不包含0和1)有實根，-1 < X < 0
此時觀察F(X)= X^5 +2X +2 = 2 +X(X^4 +2)的變化：

X從0趨近於-1時，X是負越大，(X^4 +2)是正越大
故X(X^4 +2)是負越大，2 +X(X^4 +2)是負越大
代表從最大值(<2)趨近於最小值(>-1)的過程中
F(X)只有在X為某值時為0
換句話說0~ -1之間(不包含0和1)僅有一個實根

→ X僅在-1/2和-1之間存在一實根

接著要檢查此實根是否為無理數
X為實數，則X可能是有理數或無理數假設X為有理數Q/P，P、Q為整數，(P, Q)=1
0= X^5 +2X +2
= (Q^5)/P^5 +2Q/P +2
-2= (Q^5)/P^5 +2Q/P
= (Q^5 +2QP^4) /P^5

顯然分子沒有因數P^5可以約掉分母
所以(Q^5 +2QP^4) /P^5不可能是整數(-2)
X為無理數...反證法

ANS：1個