✔ 最佳答案
看不下去了
有空再來幫忙~
2014-11-25 09:50:23 補充：
第一題
以下為了版面簡潔
我會把|向量a|、|向量b|、|向量c|寫成A、B、C
向量a+向量b+向量c =0向量
向量a+向量c = -向量b
|4向量a +向量b +3向量c|
= |3(向量a +向量c) +向量a +向量b|
= |-3向量b +向量a +向量b|
= |向量a -2向量b|......接著利用餘弦定理
= √( |向量a|^2 +|向量b|^2 -2|向量a|*|向量b|*cosθ1 )
= √(A^2 +B^2 -2AB*cosθ1 ) ~ 所求
向量a+向量b+向量c =0向量
可以想像三種向量構成一個三角形迴路
則向量c所對的夾角θ2符合：(一樣是餘弦定理)
|向量c|^2 = |向量a|^2 +|向量b|^2 -2|向量a|*|向量b|*cosθ2
C^2 = A^2 +B^2 -2ABcosθ2
cosθ2= (A^2 +B^2 -C^2) /2AB
在向量a前頭和向量b尾端找到θ1和θ2
發現兩角相對故相等
→ cosθ1 = cosθ2 = (A^2 +B^2 -C^2) /2AB
所求= √(A^2 +B^2 -2AB*cosθ1 )
= √[ A^2 +B^2 - (A^2 +B^2 -C^2) ]
= √(C^2) =C
ANS：5
第二題
柯西不等式：(A1^2 +A2^2+...+An^2)(B1^2 +B2^2+...+Bn^2)
>= [ (A1B1)^2 +(A2B2)^2+...+(AnBn)^2 ]
所求(a+b)(1/a +1/b)
= [ (√a)^2 +(√b)^2 ] [ (√1/a)^2 +(√1/b)^2)
>= (√1 +√1)^2
如果還沒學到柯西想用算幾也無妨：
所求(a+b)(1/a +1/b)
= (a+b)[ (a+b)/ab ] = (a+b)^2 /ab = (a^2 +b^2 +2ab) /ab
= 2 +(a^2 +b^2) /ab
(a^2 +b^2) /ab = a/b +b/a
>= 2√[ (a/b)(b/a) ]
= 2
ANS：4
第三題
△abc的面積= 1/2 *線段ab *線段ac *sina
= 1/2 *|向量ab| *|向量ac| *sina ~ 所求
(若？)12= 向量ab和向量ac的內積
= |向量ab| *|向量ac| *cosa
cosa= 12 /(2√3) /6 = 1/√3
想像邊長比為1：√2：√3的三角形得sina= √2/√3
所求= 1/2 *|向量ab| *|向量ac| *sina
= 1/2 *2√3 *6 *√2/√3
ANS：6√2面積單位
2014-11-25 19:34:40 補充：
很抱歉第一題答案Key錯了
最後算出來的C就是|向量c| =7
不是5
2014-11-26 20:38:10 補充：
數字換了
方法是換湯不換藥
而最關鍵的地方在於
你如何利用向量a +向量b +向量c =0向量
來簡化| 2向量a +3向量b +4向量c | ~
