國二數學（急）

令四個連續正整數為 n, n + 1, n + 2, n + 3。

考慮 n(n + 1)(n + 2)(n + 3) + 1
= [(n)(n + 3)][(n + 1)(n + 2)] + 1
= (n² + 3n)(n² + 3n + 2) + 1
= (n² + 3n)² + 2(n² + 3n) + 1
= (n² + 3n + 1)²

是一個完全平方。

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2014-11-23 21:35:13 補充：
如果想簡單一點，可令數字小一點。

假設四個連續正整數是 n - 1, n, n + 1 和 n + 2。

這四個連續正整數相乘再加一是：

　(n - 1)(n)(n + 1)(n + 2) + 1
= [(n - 1)(n + 2)][(n)(n + 1)] + 1
= (n² + n + 2)(n² + n) + 1
= (X + 2)(X) + 1　表 n² + n 為 X
= X² + 2X + 1
= (X + 1)²
= (n² + n + 1)² 是一個完全平方。

第一份解答還不夠簡單？？？

題幹可表示為：
N(N+1)(N+2)(N+3)+1 (N為正整數)
=(N^2+3N)(N^2+3N+2)+1.....@
令N^2+3N=a
則@式=(a)(a+2)+1
=(a+1)^2
=(N^2+3N+1)^2
又N為正整數
依據正整數對加法、乘法的封閉性
N^2+3N+1屬於正整數
故(N^2+3N+1)^2為完全平方數
即連續四個正整數相乘+1，必為完全平方，得證
有點湊的味道在裡面。