高一數學題~多項式函數

第一題第一小題
Y=X^3與Y= X^2 +X的交點橫坐標
就是方程式X^3= X^2 +X的根
→ X^3 -X^2 -X =0
X(X^2 -X -1) =0

上式的根就是X=0的根加上X^2 -X -1 =0的根
前式的根顯然就是0
而X^2 -X -1無法因式分解
乾脆用一元二次方程式的公式解：
[ -B ±√(B^2 -4AC) ] /2A
算出來是(1+√5)/2、(1-√5)/2

當X=0時
Y=X^3=0
→ 交點坐標(0,0)

當X= (1+√5)/2、(1-√5)/2時
Y= X^2 +X
= (X^2 -X -1) +(2X+1)
= 2X+1
= 2+√5、2-√5

ANS：(0,0), [ (1+√5)/2, 2+√5 ], [ (1-√5)/2, 2-√5 ]

第一題第二小題
X^3> X^2 +X
X^3 -X^2 -X >0
利用第一小題求過的根分解上式：

X[X- (1+√5)/2] [X- (1-√5)/2] >0
[X- (1-√5)/2] (X-0) [X- (1+√5)/2] >0

利用小-大 <0，大-小 >0的原則：
變數 < (1-√5)/2 → (-)(-)(-) <0
(1-√5)/2 < 變數 < 0 → (+)(-)(-) >0
0 < 變數 < (1+√5)/2 → (+)(+)(-) <0
(1+√5)/2 < 變數 → (+)(+)(+) >0

ANS：(1-√5)/2 < 變數 < 0、(1+√5)/2 < 變數


第二題
做變數題目一定要小心變數範圍：
(1)邊長X>0
(2)由"大邊對大角"原則知72°>36°則X>1

由(1)(2)知道X至少要比1大

頂角36°的等腰三角形擁有36°-72°-72°的內角
利用正弦定理得1/sin36° = X/sin72°
(請記得標上度數符號，sin?和sin?°是不一樣的東西)
Xsin36° =sin72° =2sin36°cos36°
X= 2cos36°
cos36°= X/2

利用餘弦定理得X^2 +X^2 -(2X^2)cos36° =1^2
2X^2 -X^3 =1
X^3 -2X^2 +1 =0
X^3 -X^2 -X^2 +1 =0
X^2(X-1) -(X+1)(X-1) =0
(X^2 -X -1)(X-1) =0
X^2 -X -1的根已經在第一題第一小題中用公式解求過了
X=(1+√5)/2、(1-√5)/2、1

前面提到X的範圍至少是X>1

ANS：(1+√5)/2

第三題
F(X)= X^13 +1 令= Q(X)*(X-1)(X+1) +(AX+B)

F(1) =2= A+B ~ 式一
F(-1) =0= -A+B ~ 式二
式一+式二得2B=2
故B=1，A=1

ANS：X+1

X^3-X^2-X=0
X(X^2-X-1)=0
x=0 or (1±√5)/2
(0,0)or((1+√5)/2,2+√5)or((1-√5)/2,2-√5)


X^3≥X^2+X
X^3-X^2-X≥0
∵(1-√5)/2<0<(1+√5)/2
∴X≥(1+√5)/2 or (1-√5)/2≤X≤0

剩下的角
((180-36))/2=72
1/sin36=X/sin72 正弦
X=sin72/sin36=(2 sin36 cos36 )/sin36=2cos36 =2×(√5+1)/4=(√5+1)/2


設f(x)=x^13+1=Q(x)(x+1)(x-1)+a(x+1)+b
x=-1 f(-1)=0 b=0
x=1 f(1)=2 2a=2 a=1
1(x+1)+0=x+1