六題三角函數的題目,求解法和答案(20點)

第一題：tan=2，求(sin+cos) / (sin-cos)
(上下同除以cos) = (tan +1) / (tan -1)

ANS：3

第二題：cot=4，求(2cos -sin) / (cos -3sin)
(上下同除以sin) = (2cot -1) / (cot -3)

ANS：7

第三題：求(sin+cos)^2 +(sin-cos)^2
利用平方和公式&平方差公式展開得
(sin^2 +2sincos +cos^2) + (sin^2 -2sincos +cos^2)
= 2(sin^2 +cos^2)

ANS：2

第四題：(tan+cot)^2 -(tan-cot)^2
利用平方和公式&平方差公式展開得
(tan^2 +2tancot +cot^2) - (tan^2 -2tancot +cot^2)
= 4tancot

ANS：4

第五題：求sin60 +cos60 +tan60 +cot60 +sec60 +csc60
請注意60°和60是不一樣的東西，不可混為一談
你要求的應該是：sin60° +cos60° +tan60° +cot60° +sec60° +csc60°
= (sin60°+csc60°) +(cos60°+sec60°) +(tan60°+cot60°)
=(sin60°+1/sin60°)+(cos60°+1/cos60°)+(sin60°/cos60° + cos60°/sin60°)
= (√3 /2 +2/√3) +(1/2 +2/1) +[(sin60°)^2+(cos60°)^2] /(cos60°sin60°)
先不要算開，看看有沒有機會合併同類項 ~ 隨時練習速算法以增加解題速度
= (√3 /2 +2/√3) +(1/2 +2/1) + 4/√3
= 5/2 +(√3 /2 +6/√3)
(6/√3 = 2√3，1/2 +2就是剛剛算過的5/2)

ANS：5/2 (1 +√3)

第六題：求sin30 +cos30 +tan30 +cot30 +sec30 +csc30
同樣的，你要求的應該是sin30° +cos30° +tan30° +cot30° +sec30° +csc30°
(90°互換法)= cos60° +sin60° +cot60° +tan60° +csc60° +sec60°
=第五題應該有的原式：sin60° +cos60° +tan60° +cot60° +sec60° +csc60°

ANS：5/2 (1 +√3)

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第一題Tan=2，求(Sinθ+Cosθ)/(Sinθ－Cosθ)的值
Sol
(Sinθ+Cosθ)/(Sinθ－Cosθ)
=(Sinθ/Cosθ+1)/(Sinθ/Cosθ－1)
=(2+1)/(2－1)
=3

第二題Cotθ=4，求(2Cosθ－Sinθ)/(Cosθ－3Sinθ)的值
Sol
(2Cosθ－Sinθ)/(Cosθ－3Sinθ)
=(2Cosθ/Sinθ－1)/(Cosθ/Sinθ－3)
=(8－1)/(4－3)
=7

第三題(Sinθ+Cosθ)^2+(Sinθ－Cosθ)^2
=(Sin^2 θ+2+Cos^2 θ)+(Sin^2 θ－2+Cos^2 θ)
=2

第四題 (Tanθ+Cotθ)^2－(Tanθ－Cotθ)^2
=(Tan^2 θ+2+Cot^2 θ)－(Tan^2 θ－2+Cot^2 θ)
=4

第五題Sin60度+Cos60度+Tan60度+Cot60度+Sec60度+Csc60度
=√3/2+1/2+√3+1/√3++2+2/√3
=√3/2+1/2+√3+√3/3+2+2√3/3
=5/2+5√3/2

第六題Sin30度+Cos30度+Tan30度+Cot30度+Sec30度+Csc30度
=1/2+√3/2+1/√3+√3+2/√3+2
=1/2+√3/2+√3/3+√3+2√3/3+2
=1/2+√3/2+√3/3+√3+2√3/3+2
=5/2+5√3/2