幾個多項式的係數問題

1.
觀察(1),(2)係數之變化, 週期為4, 與 i^n 相同,
故 x = i 代入,等式恆成立:

左式
= [ i^37 -4*i^23 +4*i^15 -3*i^2 -1 ] * [ i^7 -2*i^6 +5*i^3 -i +2 ]
= [ i -4(-i) +4*(-i) -3(-1) -1 ] * [ (-i) -2*(-1) +5*(-i) -i +2 ]
= ( i + 4i -4i +3 -1 ) ( -i +2 -5i -i +2 )
= ( i + 2 ) ( -7i + 4 )
= 7 + 4i -14i +8
= 15 - 10 i

右式
= a0+a1*i+a2(-1)+a3(-i)+a4*1+a5*i+a6(-1)+a7(-i)+a8*1+.....+a44*1
= ( a0-a2+a4-a6+.....+a44 ) + i ( a1-a3+a5-a7+.....-a43)
故 a0-a2+a4-a6+.....+a44 = 15 ,
a1-a3+a5-a7+.....-a43 = -10

Ans: (1) 15 (2) -10

2.
令 x^n 項係數為 Cn
C9 = 1+2+3+.....+10 = (1+10)*10/2 = 55

C8
=Σab , a < b
= (1/2) [ (1+2+.....+10)^2 - (1^2+2^2+.....+10^2) ]
= (1/2) [ 55^2 - 10(10+1)(2*10+1)/6 ]
= (1/2) ( 3025 - 385 )
= 1320

Σa^2 b , a ≠b
= (1^2+2^2+.....+10^2) (1+2+.....+10) - (1^3+2^3+.....+10^3)
= 385*55 - 55^2
= 18150

C7
=Σabc , a < b < c
= ( 1 / 3! ) [ (1+2+.....+10)^3 - 3Σa^2 b -(1^3+2^3+.....+10^3) ]
= (1/6) ( 55^3 -3*18150 - 55^2 )
= 18150

C6 計算過程牽涉Σa^2 bc , Σa^2 b^2 , Σa^3 b 等,
過於複雜,故以Excel VBA計算.
以下分為3個副程式,分別驗證已算出的C8,C7, 並計算出C6 :


圖片參考：https://s.yimg.com/rk/AC09299269/o/1420552166.png


圖片參考：https://s.yimg.com/rk/AC09299269/o/2125235508.png

依序執行以上3個副程式,執行結果如下:

圖片參考：https://s.yimg.com/rk/AC09299269/o/1644514247.png

Ans: 令 x^n 項係數為 Cn , 則:
C9 = 55 , C8 = 1320 , C7 = 18150 , C6 = 157773

3.
x^4係數
= Σ 5! / ( p! q! r! ) (1)^p (-2x)^q (3x^2)^r , p+q+r = 4
= Σ 5! / ( p! q! r! ) * (-2)^q * 3^r * x^(q+2r) , p+q+r = 4
解 q+2r = 4 與 p+q+r = 4 :
( p,q,r )有3組解: (0,4,0) , (1,2,1) , (0,0,2)
x^4係數
= Σ 5! / ( p! q! r! ) *(-2)^q * 3^r
= 5!/(0! 4! 0!) * (-2)^4 * 3^0 + 5! / ( 1! 2! 1! ) *(-2)^2 * 3^1
+5! / ( 0! 0! 2! ) *(-2)^0 * 3^2
= 5*16 + 5*4*3*4*3 + 5*4*3*9
= 1340
Ans: 1340

2014-11-23 19:12:59 補充：
To 緯 :
n1次方的底數是1, 1^n1 = 1 , 所以可忽略.

我的計算過程不是用n1, 是用p,
所以第一個等號後還有 1^p ,
第二個等號後就沒了,
因為 1^p = 1,
一樣的意思

2014-11-23 19:18:44 補充：
當然我的寫法有一點錯誤:

x^4係數
= Σ 5! / ( p! q! r! ) (1)^p (-2x)^q (3x^2)^r , p+q+r = 4

第一行應該更正為:
x^4 項

本來要更正,但因為回答已超過系統規定字數上限,
所以沒有更正.

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3.
x^4係數 有誤?

nC(n1,n2,n3)=n!/(n1!n2!n3!)
n=n1+n2+n3
n=5

C:組合

2014-11-23 17:08:23 補充：
Lopez 組合部分好像忽略constant: 1 之n1次方項

第二題題目真的有問 X^7 和 X^6 係數嗎?
這種題目我沒看過有問到 X^7 以下的,目前還沒想出做法,

第一題先提示一下,用虛數 i 代入.

2014-11-22 23:06:31 補充：
Lopez 大已經幫我回答了,
要觀察所求式的特性,從而想到要代 i ,
其實這題目可以算是求奇次項係數和及偶次項係數和的推廣,
奇次項係數和 = (f(1)-f(-1))/2
偶次項係數和 = (f(1)+f(-1))/2

2、3題考驗你排列組合的功力

2014-11-22 20:45:48 補充：
數學上有一個虛數√-1叫做i
i^1 = i
i^2 = (√-1)^2 = -1
i^3 = i^2 *i = -i
i^4 = (i^2)^2 = (-1)^2 =1

i^5 = i^4*i = i...四次一循環，故：

i^(4k+1) = i
i^(4k+2) = -1
i^(4k+3) = -i
i^(4k) =1

2014-11-22 20:46:10 補充：
F(X)= A0 +A1X +A2X^2+......+A44X^44，將X=±i代入可得兩式：

F(i)= A0 +(A1i -A2 -A3i +A4) +...+(A41 -A42 -A43i +A44)
F(-i)= A0 +(-A1i -A2 +A3i +A4) +...+(-A41i -A42 +A43 +A44)

F(i)+F(-i) = 2A0 -2A2 +2A4...-2A42 +2A44
F(i)-F(-i) = 2A1i -2A3i +2A5i...+2A41i -2A43i

2014-11-22 20:46:19 補充：
(1)= 1/2[F(i)+F(-i)]
= 1/2[(i+2)(-7i+4)+(-i+2)(7i+4)]
= 1/2{ i[(-7i+4)-(7i+4)] +2[(-7i+4)+(7i+4)] }
= 30

(2)= (1/2i)[F(i)-F(-i)]
= (1/2i)[(i+2)(-7i+4)-(-i+2)(7i+4)]
= (1/2i)[(i+2)(-7i+4)+(i-2)(7i+4)]
= (1/2i){ i[(-7i+4)+(7i+4)] +2[(-7i+4)-(7i+4)] }
= -10

2014-11-22 20:47:03 補充：
第二題第一小題

(X+1)(X+2)(X+3)(X+4)(X+5)(X+6)(X+7)(X+8)(X+9)(X+10)
從十個()中挑一個取它的數字
其他九個()就取它們的X
這個數字乘上九個X就會形成1X^9、2X^9、3X^9...10X^9
所以X^9的係數就是1加到10

ANS：55

2014-11-22 20:50:43 補充：
第二題第二小題

(X+1)(X+2)(X+3)(X+4)(X+5)(X+6)(X+7)(X+8)(X+9)(X+10)
同樣的先挑兩個()取它們的數字
其他八個就取它們的X
這兩個數字和八個X的乘積形成1*2X^8、1*3X^8、1*4X^8...2*3X^8、2*4X^8...9*10X^8
X^8項係數就是1~10的數字所有兩兩乘積的和

2014-11-22 21:04:37 補充：
剛剛講得有點怪應該是
X^8項係數就是1~10任意兩數乘積的總和
X^7項係數就是1~10任意三數乘積的總和
X^6項係數就是1~10任意四數乘積的總和

下一題是從(1 -2X +3X^2)^5湊出X^4

可以把(1 -2X +3X^2)看成(1X^0 -2X^1 +3X^2)

X^4= (X^0)^n * (X^1) * (X^1) * (X^1) * (X^1)
X^4= (X^0)^n * (X^1) * (X^1) * (X^2)
X^4= (X^0)^n * (X^2) * (X^2)

提示到這
試試看ㄅ~