這題算是在考您的觀察能力，利用化簡、可以較容易的推斷出來。
您先思考若題目改成
1001,1002,1003,....,1101，
有幾組相鄰自然數，相加時不進位?
先列出來第一行
1001,1002,1003,1004,1005,1006,1007,1008,1009,1010
發現只要數到尾數5、6那邊就會GG....
不過還有兩組隱藏在後面(1009,1100)、(1010、1011)
得到一個小結論: 1001~1011有 6 組
1001、1011、1021、1031、1041 都適用.....
但 1041 這行，有個陷阱!!，藏在尾端
1041,1042,1043,1044,1045,1046,1047,1048,1049,1050,
兩組隱藏版，(1049,1050)、(1050、1051)....發現有一組GG
所以1051之前有 6 x 5 -1 = 29 (組)
1051、1052.....應該不用說了吧，十位數的5以上相加一定進位!!
再思考一個問題，會一直進位到什麼時候??
我們思考簡化題目的最後一行
1091,1092,.....,1099、1100.....發現隱藏版了嗎?
(1099,1100)、(1100、1101) 這 2 組OK
所以得到第二個結論: 1001~1101 有 6 x 5 -1 +2= 31 (組)
先搞懂上面的簡化，接下來回到原來的題目，
1001~2000.....
1101之前有......31組
1201之前有......31+31組
1301之前有......31+31+31組
1401之前有......31+31+31+31組
1501之前也有31組........嗎? 如果出問題只會出在銜接的部分
1499,1500,1501......會發現照之前的算法 (1500,1501)這組GG
所以1501之前只有.....30組!!!
1501之後都GG，因為百位數的5以上相加一定進位，那一直進位到什麼時候??
1501、1601、1701、1801、1901都GG...
最後確認19開頭的尾端.....1998,1999,2000
發現最後的隱藏組了吧?.....(1999,2000)
所以總結 31 x 5 -1 +1 = 155 (組)
參考: 自己(最近被資遣的數學老師)...原來對孩子太好就是對老闆不好!!
這題我想的是以排列組合的觀點來解
但是，那可是高中解法啊！！！(汗~
首先相加不進位，代表每個位數都不進位
所以看千位、十位、百位的數組，再將方法數相乘(組合)即可
各位不進位，因為又規定要相臨，所以
一、
當兩個數擁有相同的十位數 百位數 千位數
該二數的個位數有(0,1)(1,2)(2,3)(3,4)(4,5) 5種(當然要另外扣掉1000 1001這組)
十位數 百位數 各別可能是0~9 10種(當千位為1時)
且千位數不可能為2
二、
當兩個數擁有不同的十、百、或千位數時：
個位數有(9,0) 1種
1.
且當百位、千位一樣時
十位數必定差1可為 (0,1)(1,2)(2,3)(3,4)(4,5)五種
2.
(1)
承上，若當百位數不一樣時，但千位一樣
則十位數可為(9,0)一種
百位數必定相差一，可為(0,1)(1,2)(2,3)(3,4)(4,5) 五種
(2)
若千位數不一樣，則只有(1999,2000)一組
綜上所述：
可得符合題幹之數對有：
1*10*10*5+1*10*5*1+1*5*1*1+1*1*1*1-1
=555種
有點繁複，希望沒算錯
2014-11-20 23:20:33 補充：
這題給小五算大概用窮舉法吧，會算到天荒地老阿~QQ
2014-11-22 19:59:01 補充：
修正
一、第三行 ...0~4 有5種...
末段
...符合題幹敘述之數對有
1*5*5*5+1*5*5*1+1*5*1*1+1*1*1*1-1
=155種
參考: 所見所聞，所思所學
