請教一題三角函數....求sin2θ+cos2θ=?

令A=sinθ，B=cosθ
做變數題目切記變數範圍
90度<θ<180度 → A>0，B<0

3(sinθ)^2 -sinθcosθ -2(cosθ)^2 =0
→ 3A^2 -AB -2B^2 =0
(A-B)(3A+2B) =0
A= B or -2/3B
取A= -2/3B ~ 式一

sin2θ +cos2θ
= 2sinθcosθ +[ (cosθ)^2 -(sinθ)^2 ]
= 2AB +(B^2 -A^2)
= B^2 -A^2 +2AB
將式一帶入得B^2 -(-2/3B)^2 +2(-2/3B)B
= (2/3)B^2 -1

將式一兩邊平方得
A^2 = (4/9)B^2
1 -B^2 = (4/9)B^2
B^2= 9/13

所求= (2/3)B^2 -1
= (2/3)*(9/13) -1
= -7/13

2014-11-20 11:19:46 補充：
關於sin2θ +cos2θ = 2sinθcosθ +[ (cosθ)^2 -(sinθ)^2 ]
更快的做法是這樣：
sin2θ +cos2θ = 2sinθcosθ +[ 2(cosθ)^2 -1 ]
= 2AB +(2B^2 -1)
= 2B^2 +2AB -1
這時候再代入式一(A= -2/3B)

因為第一種做法需要計算到A^2= (4/9)B^2
雖然後來也會計算到...

2014-11-20 20:22:43 補充：
會問這題的樓主
想必是做過了基本題
例如sin^2 +cos^2 =1的基礎應用題
所以那個有一點不明白的部分
其實大家都很明白 ~

不過對這一題來說
不可否認的是
直接把原式換成倍角式確實很漂亮
對於課業進度緊湊的高中生來說
系統性學習是主軸
但是他們也願意節省做題目的時間 ~

當然也不可否認的是
回答採用率的懸殊
來自於大家對答題者用心程度的評價 ~

不論如何
對於有心向學的
我們都樂意幫點小忙

25 cos^2 2θ=1 - 2 sin 2θ +sin^2 2θ(前式兩邊移項後平方)
到
sin 2θ= -12/13 ; sin 2θ =1 (不合) (前式求得的sin 2θ)
我不認為這是簡單易明的一步。

呵呵,因為懶得打一堆,所以偷懶一下,其實要再一步:25 cos^2 2θ=25(1-sin^2 2θ),再移項,打得實再累,所以就簡化了.
再加以下
25(1-sin^2 2θ)=1 - 2 sin 2θ +sin^2 2θ
=>
26sin^2 2θ - 2 sin 2θ -24=0
=>
sin 2θ= -12/13 ; sin 2θ =1 (不合)

2014-11-22 03:15:11 補充：
本來只是想給不一樣的思維,這版我也只是偶爾來來,大家切磋一下而已.

2014-11-22 03:17:49 補充：
哦,用了別人帳號上來,我就是Wutu

2014-11-22 03:25:33 補充：
知足常樂大師的考慮也對,不過在微積分倍角公式也有用到,只是在解題時,確實是tan用得比較多,尤其是在 1/(ax^2 + b) 類的轉換常用到.

Sol
90度<θ<180度
Sinθ>0，Cosθ<0
3Sin^2 θ－SinθCosθ－2Cos^2 θ^2=0
(3Sinθ+2Cosθ)(Sinθ－Cosθ)=0
Sinθ+2Cosθ=0 or Sinθ－Cosθ=0(不合)
3Sinθ+2Cosθ=0
3Sinθ=－2Cosθ
Tanθ=Sinθ/Cosθ=－2/3
Sinθ=2/√13
Cosθ=－3/√13
Sin2θ+Cos2θ
=2SinθCosθ+2Cos^2 θ－1
=2*(2/√13)*(－3/√13)+2*9/13－1
=－7/13

3(sinθ)^2-sinθcosθ-2(cosθ)^2=0
=>
3(1-cos 2θ )/2 -(sin 2θ) /2 -(1+cos 2θ)=0
=>
1/2 - 5 (cos 2θ ) /2 -(sin 2θ) /2 =0
=>
5 cos 2θ + sin 2θ =1 (前式兩邊移位後 乘2)
=>
25 cos^2 2θ=1 - 2 sin 2θ +sin^2 2θ(前式兩邊移項後平方)
=>
sin 2θ= -12/13 ; sin 2θ =1 (不合) (前式求得的sin 2θ)
=>
cos 2θ=5/13
=>
sin2θ+cos2θ=-12/13 +5/13=-7/13##