高中數第二冊數學

1.
5^n個位數只有一種情形,就是 5
2^n 個位數有 2,4,6,8

所以答案共有 1X4=4 (種)


2.
等差公式:n(2n -1 +1)/2 =n^2
n^2 > 600
=>
n=25

3.

設1980年人口為x人 ,年增長率 為y

所以

x+7y=50
x+19y=60
=>
y=5/6
x=265/6
所以 2023年人口為
265/6 +43x5/6 =480/6=80(億)

若是2的n平方次方＋5的n平方次，即 2^ (n^2) + 5 ^(n^2)
n=1,2,3,4,5,6,...... ...................2k-1 , 2k k為正整數
n^2 =1 ,4,9,16,25,36 ....... 4k^2 -4k +1 , 4k^2
=> 4的倍數+1 及4的倍數

2014-11-20 18:43:31 補充：
5 ^(n^2) =>5的整數次方， 個位數一定是5
2^(n^2)
n^2為4的倍數
=> 2^4 = 16 , 2^16 =(2^4)^4 , 2^36 =(2^4)^9 ......個位數為6
n^2為4的倍數+1
2^1 =2 , 2^9 =(2^8)×(2^1) , 2^25 = (2^24)×(2^1) .........個位數為2
=> 2^(n^2) + 5 ^(n^2) 個位數為 1 或 7 ，兩種

#第一題#

由n=1開始
2^n的個位數
會以四個數字為一個週期的方式不斷重複下去:
2→4→8→6→2→4→8→6→2...

同時5^n會跟2^n這樣配合:
2→4→8→6→2→4→8→6→2...
5→0→5→0→5→0→5→0→5...

加起來就是2^n +5^n的個位數字:
7→4→3→6→7→4→3→6→7...

ANS：(D)


#第二題#

1, 3, 5, 7...(2n-1)
相當於1 +0*2, 1 +1*2, 1 +2*2, 1 +3*2...1 +(n-1)*2
第一項是1 +0*2，第二項是1 +1*2，第三項是1 +2*2...
第n項是1 +(n-1)*2
剛好是2n-1
所以級數和要加到2n-1

等差級數和公式一樣是利用梯形公式：
一底=1，另一底= 2n-1
高=項數，除了代公式 (2n-1) -1 ]/2 +1 =n
還可以把數列1, 3, 5, 7...(2n-1)的每一項+1來觀察 → 2, 4, 6, 8...2n
顯然是n項

級數和= [ 1 +(2n-1) ]*n /2 =n^2 >600

ANS：(B)


#第三題#

一定要先檢查2023年是不是自1980年起的50年內

設增長率為A
則1987年~1999年中
50憶 *(1+A) ^(1999-1987) =60億
(1+A)^12 =6/5

2023年的人口數從1999年算起
60億 *(1+A)^(2023-1999)
= 60億 *(1+A)^24
= 60億 *(1+A)^(12*2)
= 60億 *[ (1+A)^12 ]^2
= 60億 *(6/5)^2
= 86.4億

ANS：(C)