證明三角函數之不等式

令 tanα = a , tanβ = b , tanγ = c , 則 a² + b² + c² = √3 , (0 < a , b , c < 1). 考慮 a - a³ = a(1 - a²) = √( a²(1 - a²)² ) = ½√2 × √( 2a² (1 - a²) (1 - a²) )
≤ ½√2 × √ ( ( (2a² + (1 - a²) + (1 - a²))/3 )³ ) = ½√2 × √(8/27) = 2√3 / 9 ,
同理 b - b³ ≤ 2√3 / 9 , c - c³ ≤ 2√3 / 9 .
∴
tan2α + tan2β + tan2γ
= 2a / (1 - a²) + 2b / (1 - b²) + 2c / (1 - c²)
= 2a² / (a - a³) + 2b² / (b - b³) + 2c² / (c - c³)
≥ 2a² / (2√3 / 9) + 2b² / (2√3 / 9) + 2c² / (2√3 / 9)
= 3√3 × ( a² + b² + c² )
= 3√3 × √3
= 9