國二資優數學

1.
x^2-4mx+6x+3m^2-2m+4k=0
x^2 + (6-4m) x +(3m^2 -2m+4k) =0
判別式 =(6-4m)^2 - 4(3m^2 -2m+4k) 需為完全平方
兩根才會為有理數
(6-4m)^2 - 4(3m^2 -2m+4k)
=4m^2 -40m+(36-16k)
=4{m^2 -10 m +(9-16k) }
=(2^2) {m^2 -10 m +(9-16k) }為完全平方

m^2 -10 m +(9-16k)
=(m-5)^2 + (-16-16k) 為完全平方
對任意有理數m，皆成立
則-16-16k =0 => k= -1

2.
x^2-3x+1=0兩根為α、β
=> α+β=3
αβ =1

x^2+ax+b=0兩根為α(α+1)、β(β+1)
α(α+1)+β(β+1) = -a
α(α+1)β(β+1)=b
a+b = α(α+1)β(β+1) - α(α+1) - β(β+1)
=(α+1)(β+1) - α(α+1) - β(β+1)
= αβ+α+β+1 - α^2 -α - β^2-β
=αβ -α^2 - β^2 +1
= - (α+β)^2 +3αβ+1
=- (3)^2 +3 (1) +1
=-5

2014-11-19 10:18:41 補充：
感謝意見區之提醒， 關於完全平方之真正涵意
因此解答中關於"完全平方" 之詞，需改為＂有理數之平方＂　才為正確
第３行　　判別式 =(6-4m)^2 - 4(3m^2 -2m+4k) 需為有理數之平方
第８行　　=(2^2) {m^2 -10 m +(9-16k) }為有理數之平方　
第10行 =(m-5)^2 + (-16-16k) 為有理數之平方

2014-11-28 16:21:58 補充：
計算錯誤 更正
(6-4m)^2 - 4(3m^2 -2m+4k)
=4m^2 -40m+(36-16k)
=4{m^2 -10 m +(9-4k) }
=(2^2) {m^2 -10 m +(9-4k) }為有理數之平方

m^2 -10 m +(9-4k)
=(m-5)^2 + (-16-4k) 為有理數之平方
對任意有理數m，皆成立
則-16-4k =0 => k= -4

無奈！錯誤的解也有那麼多人認同！

1. x²－4mx＋6x＋3m²－2m＋4k＝0==> (x－m)(x－3m)＋6x－2m＋4k＝0因為兩根皆為有理數, 且 m 亦是有理數, 可假設 a, b 為兩有理數, 且 (x－m)(x－3m)＋6x－2m＋4k＝(x－m＋a)(x－3m＋b)＝(x－m)(x－3m)＋(a＋b)x－(3a＋b)m＋ab所以,a＋b＝6 ⋯⋯⋯⋯ (i)3a＋b＝2 ⋯⋯⋯ (ii)ab＝4k ⋯⋯⋯⋯ (iii)由 (i), (ii) 得 a＝-2, b＝8, 代入 (iii), 得(-2)(8)＝4k==> k＝-4
(2) 因為 α, β 為 x²－3x＋1＝0 的兩根, 所以,α＋β＝3 及 αβ＝1又, α(α＋1), β(β＋1) 是 x²＋ax＋b＝0的兩根, 所以,-a＝α(α＋1)＋β(β＋1)==> -a＝α²＋α＋β²＋β==> -a＝(α＋β)²－2αβ＋α＋β==> -a = 3²－2*1＋3==> a＝-10及 b＝α(α＋1)β(β＋1) ＝αβ(α＋1)(β＋1) ＝αβ(αβ＋α＋β＋1) ＝1(1＋3＋1) ＝5∴ a＋b＝-10＋5＝-5

判別式只要是(Q/P)^2就足
這樣開出來就是±Q/P
完全平方數是指1、4、9、16...N^2這種

2014-12-11 19:17:05 補充：
這邊算還好的
起碼思路是對的
只是過程有一點疏忽~

票選的網友大多是盲目的
就跟台灣人選舉一樣~