基礎國中極值問題一時想不出急!!

2014-11-18 1:52 am

y=(2X)/(X^2+1)
試問y的最大值、最小值為何?(如果可以，請說明作法)

更新1:

感謝各位的回答~ 平常不用功到這假用功這位的做法很神奇阿... 我不大了解為甚麼要用「已知有實根再用判別式」看了KlIE的回答最後一部分我大概懂了(微積分那部分無法理解..) 原來這題有特殊解法，不用wolfram來作圖了 ps: 我目前是高三生，數學老師聲稱這是國中的基礎題目(解答是1和-1)，至於作法我整整想了兩個小時了..(或許老師希望我們用判別示作，但是沒想到這麼多方法。) 再次感謝各位!

回答 (4)

KlIE

2014-11-18 3:57 am

✔ 最佳答案

極值發生於一次微分等於零處

dy/dx = { (2X) ' (X^2 +1) -2X(X^2 +1) ']/ (X^2+1)^2
={2 (X^2 +1) -2X(2X)) } /(X^2+1)^2
=( -2X^2 +2 ) / (X^2+1)^2
當X =+1 ,-1 時 dy/dx=0

x=1 , y= 2/ (1+1) =1
x=-1 , y= -2 /(1+1) =-1

Ans :最大值1 , 最小值-1

2014-11-17 20:50:30 補充：
y=(2x)/(x^2+1) ={ (x^+2x+1) - (x^2 +1) } / (x^2+ 1) = (x+1)^2 /(x^2+1) -1
∵ (x+1)^2 /(x^2+1) ≧0 ∴ y≧ 0-1 = -1
=> y最小值 -1
∵ (x-1)^2 ≧0 => x^2 -2x +1≧0 =>x ^2+1 ≧2x
∴ y=(2X)/(X^2+1) ≦ (x^2 +1 )/ (x^2 +1) =1
=> y最大值1

2014-11-17 20:53:36 補充：
補充漏字更正
y=(2x)/(x^2+1) ={ (x^2 +2x+1) - (x^2 +1) } / (x^2 + 1) ={ (x+1)^2 } /(x^2 +1) -1
∵ (x+1)^2 /(x^2+1) ≧0 ∴ y≧ 0-1 = -1
=> y最小值 -1
∵ (x-1)^2 ≧0 => x^2 -2x +1≧0 =>x ^2 +1 ≧2x
∴ y=(2x)/(x^2+1) ≦ (x^2 +1 )/ (x^2 +1) =1
=> y最大值1

參考: https://www.wolframalpha.com/input/?i=y%3D%282X%29%2F%28X^2%2B1%29

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kawahine1717

2014-11-18 4:59 am

由於分數已經不能再約分
而且X^2+1不是0
所以可以放心地乘到左邊去

y=(2X)/(X^2+1)
(X^2+1)y =2X
yX^2 -2X +y =0

只要X有實根y值就存在
→ 判別式>=0
(-2)^2 -4y^2 >=0
4>= 4y^2
y^2 <=1
-1<=y<=1

ANS：最大值=1，最小值=-1

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