聯立方程式|X|+|Y|<=2 |X|+|Y-1|<=2

先分析0<= |X| + |Y| <=2的第一象限
→0<= X+Y <=2
此式相當於X+Y=K, 0<=K<=2

當K=0時, X+Y=0, Y=-X
當K=2時, X+Y=2, Y= 2-X
於是我們不難想像當0<K<2時
X+Y=K就是在以上兩直線之間
且斜率與這兩直線相同的無線多條線

顯然所有的(X,Y)形成的圖形就是
直線Y= 2-X與雙軸包圍的三角形

我們接著觀察0<= |X| + |Y| <=2在第二象限的圖形
→0<= -X+Y <=2
此式就是-X+Y=K, 0<=K<=2

而所有符合此式的直線會跟第一象限那些直線對稱於Y軸(X→-X)：
X+Y=K, 0<=K<=2
所以0<= |X| + |Y| <=2在第二象限的圖形就是
第一象限的三角形對著縱軸翻過來的三角形

繼續用第二象限的圖形推想第三象限的圖形：
由於Y→-Y，所以我們要把第二象限的三角形
對著橫軸翻下來

同理，第四象限的圖形就是
第三象限的三角形對著縱軸往右翻過去的三角形

最後我們發現四個三角形剛好構成一個
頂點在雙軸上
面積被四個象限均分
以原點(0,0)為中心的正方形
這就是0<= |X| + |Y| <=2的圖形了


現在我們來看第二個不等式0<= |X| + |Y-1| <=2
我們把Y=1當作新的橫軸Y'=0
新象限的點(X',Y') = (X, Y-1)
那麼0<= |X| + |Y-1| <=2的圖形
就是0<= |X'| + |Y'| <=2的圖形
根據分析第一個不等式的經驗
顯然又是一個頂點在(新)雙軸上
面積被四個(新)象限均分
以(新)原點(0,1)為中心的正方形

最後我們可以利用畢氏定理
算出重疊的小正方形邊長= 根號2

ANS：2單位面積

2014-11-17 02:15:03 補充：
不好意思更正ㄧ下最後的答案：
重疊的正方形邊長是3÷根號2
所以面積是9/2

然後我忽略了正方形也是菱形
這題用菱形的面積求法會比較快
因為上面的大正方形比下面的大正方形“高”1單位長
所以小正方形的對角線長就是大正方形的對角線長-1
→3單位長
所求= 3*3÷2 =9/2面積單位

1.|X|+|Y|<=2
(1)x>=0, y>=0 時 x+y<=2
(2)x>=0, y<0 時 x-y<=2
(3)x<0, y>=0 時 -x+y<=2
(4)x<0, y<0 時 -x-y<=2

圖形以原點為中心, 兩對角線長均為4之菱形(正方形), 面積(1/2)(4)(4)=8

2. |X|+|Y-1|<=2
(1) x>=0, y-1>=0 時 x+y-1<=2
(2) x>=0, y-1<0 時 x-y+1<=2
(3) x<0, y-1>=0 時 -x+y-1<=2
(4) x<0, y-1<0 時 -x-y+1<=2

圖形以(0, 1)為中心, 兩對角線長均為4之菱形(正方形), 面積(1/2)(4)(4)=8

兩圖重疊部分為兩對角線長均為3之菱形(正方形), 面積(1/2)(3)(3)=9/2