張邱建算經 百元百雞的問題

假設 買公雞 a 隻、母雞 b 隻、小雞 c 隻，並 a, b, c 均為非負整數。

[1]: a + b + c = 100　代表共買 100 隻雞
[2]: 6a + 3b + 0.1c = 100　代表共用 100 元買雞

留意 a 和 b 均為整數，[2] 即 0.1c = 100 - 6a - 3b 也是整數。
這代表 c 必定是 10 的倍數，可令 c = 10d 其中 d 為整數。

即
[3]: a + b + 10d = 100
[4]: 6a + 3b + d = 100

[3] × 3: 3a + 3b + 30d = 300
　 [4]: 6a + 3b + d = 100
-3a + 29d = 200
a = (29d - 200)/3 ≥ 0
可得 29d - 200 ≥ 0
　　 29d ≥ 200
　　 d ≥ 200/29 ≥ 6.89
即 d ≥ 7

[3] × 6: 6a + 6b + 60d = 600
　 [4]: 6a + 3b + d = 100
3b + 59d = 500
b = (500 - 59d)/3 ≥ 0
可得 500 - 59d ≥ 0
　　 59d ≤ 500
　　 d ≤ 8.48
即 d ≤ 8

7 ≤ d ≤ 8 即 d 只能是 7 或 8。

若 d = 7，c = 70
a = (29 × 7 - 200)/3 = 1
b = (500 - 59 × 7)/3 = 29

若 d = 8，c = 80
a = (29 × 8 - 200)/3 = 10.667 不是整數
b = (500 - 59 × 8)/3 = 9.333 不是整數

因此，唯一的解是
(a, b, c) = (1, 29, 70)

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(1)小題
三種都要買:
設公雞買x隻,母雞買y隻 (x,y為正整數)
因為總共100隻,所以小雞有100-x-y隻
6x + 3y + 0.1(100-x-y) = 100
60x + 30y + 100-x-y = 1000
59x + 29y = 900
[ 900 / 59 ] = 15 , 其中 [ ] 為高斯符號
[ 900 / 29 ] = 31
故用x計算量較小.

2014-11-16 15:42:48 補充：
29y = 900 - 59x
分別代入x = 1, 2, 3, ..... , 15 計算出 900-59x ,
結果只有在 x = 1時, 900-59x 是29的倍數.
所以只有1組解: x = 1 , y = 29 , 100-x-y = 70
Ans: 公雞買1隻, 母雞買29隻, 小雞買70隻.

驗算:
6*1+3*29+0.1*70 = 6+87+7 = 100
故驗算無誤.

2014-11-16 15:43:57 補充：
第(2)小題
不一定要買3種,但至少2種:
59x + 29y = 900 , 其中x,y為非負整數
也就是包含0解,例如,若 x = 0, 就表示只買2種.
第(1)題已計算完 x = 1 ~ 15 的情況,所以這題只要再算 x = 0 就完成.
當 x = 0 , 29y = 900
但 900 不是 29 的倍數,故不合.
Ans: 公雞買1隻, 母雞買29隻, 小雞買70隻.

2014-11-16 15:46:21 補充：
用Excel VBA驗證 第(1)小題:

Sub test()

r = 1

For x = 1 To Int(100 / 6)
For y = 1 To Int(100 / 3)
For z = 1 To Int(100 / 0.1)
If x + y + z = 100 And 6 * x + 3 * y + 0.1 * z = 100 Then
Cells(r, 1) = x
Cells(r, 2) = y
Cells(r, 3) = z
r = r + 1
End If
Next
Next
Next

End Sub

2014-11-16 15:50:20 補充：
執行結果: 1 , 29 , 70
故驗證無誤.

驗證第(2)小題只要x,y,z的初始值從1改成0,也就是:
For x = 1 To Int(100 / 6)
For y = 1 To Int(100 / 3)
For z = 1 To Int(100 / 0.1)
改成
For x = 0 To Int(100 / 6)
For y = 0 To Int(100 / 3)
For z = 0 To Int(100 / 0.1)
執行結果: 1 , 29 , 70
故驗證無誤.