幾個自學數學的問題

我先解答第二個問題,
(1) |x|+|y|=1 (2) |x-1|+|y-1|=1 (3) |x|/2+|y|/3=1 (4)|x+1|/2+|y-2|/3=1
第1和第3小題是類似的,
基本上,有絕對值的方程式都要先討論,先去掉絕對值後才能畫出圖形,
第1小題本來要討論四種情況:
1. x>=0,y>=0
2. x>=0,y<0
3. x<0,y>=0
4. x<0,y<0
也就是要分四個象限來討論,
但是這種題目都有對稱性,所以不用那麼麻煩,只要畫出在第一象限的圖,
其他部份就對稱過去就好,

2014-11-15 22:17:11 補充：
首先要對方程式的圖形的對稱性有基本的了解,
如果把方程式中的 x 改成 -x,原式不變的話,那它的圖形就會對稱於y軸,
也就是說,如果(x,y) 在圖形上,那(-x,y)也會在圖形上,簡單說就是左右對稱,
同樣地,如果把y改成 -y,原式不變的話,那就是上下對稱,
第一小題和第三小題都是對稱於x軸也對稱於y軸,
所以只要作第一象限的圖就好,再對稱到第二象限,再對稱到底下第三四象限,
而二四兩個小題也是類似,只是對稱軸改一下而已,
第二小題就是對稱於 x=1, y=1 兩直線,
先把對稱軸畫出後,只要畫右上方 x>=1,y>=1 的圖形,再對稱即可,
第四小題也差不多,自己先做看看,有問題再問.

2014-11-15 23:00:09 補充：
嗯,沒錯,但是要注意範圍,
x+y = 1 只有在第一象限,其他同理,
其實也就是那個四邊形(正方形),延長出去的就不是了.

2014-11-16 23:53:13 補充：
重複一下之前講的.
第二小題 (2) |x-1|+|y-1|=1 圖形會對稱於 x=1, y=1 兩直線,
先把對稱軸畫出後,只要畫右上方 x>=1,y>=1 的圖形,再對稱即可,
這樣畫出來的圖形只在第一象限,
抱歉,我不會電腦繪圖,請版主先自行檢查,看是哪個步驟有問題.

2014-11-18 00:42:11 補充：
既然快樂阿呆大都點名了,那我就當仁不讓了,
不過我先強調一下,我是進哥,不是發哥,
版主可能是想到賭神高進,就把我改成發哥了,

最後補充那題雙絕對值的,要先去掉裏面的絕對值,
首先觀察其對稱性,
一樣是對稱於X軸,也對稱於Y軸,所以只要畫出第一象限的圖後再對稱即可,
X>=0,Y>=0 時,去掉裏面的絕對值,得
| x-1 |+| y-1 |=2
這樣就和之前的第二小題類似了,
此圖形會對稱於 X=1, Y=1,
只要畫出右上方 X>=1, Y>=1 區域的圖,再對稱即可,
本來 | x-1 |+| y-1 |=2 也是個中心點在(1,1)的正方形,
但是因為之前就有限制 X>=0,Y>=0,也就是在第一象限,
所以超出第一象限的部份就不合要擦掉,只剩下一個斜的ㄇ字,
抱歉,我不會畫在電腦上,請版主自己畫看看,
最後再對稱到其他象限即可.

2014-11-18 08:30:09 補充：
版主在意見欄後面所說的是正確的,
但只要能畫出圖形,就可以看出X,Y的範圍了.

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真不錯 如有打擾在這跟您說聲抱歉。

這里很不錯9９9ｓhｏpｐiｎg。cｏｍ老婆很喜歡
似呥事冘刉

回答10樓的問題：
觀念：因為，∣正數∣=正數，∣負數∣=-(負數)，正數直接拿掉絕對值，負數會差一個負號
(1)確定x>=1或x<=-1時，x^2-1必為正數，所以直接拿掉絕對值，得y=x^2-1
(2)確定-1<=x<=-1時，x^2-1必為負數，所以，要拿掉絕對值，要在負數前面加負號，得y=-(x^2-1)=-x^2+1

2014-11-17 09:10:10 補充：
回答10樓的問題：
觀念：國中時，聯立方程式的解==兩直線的交點坐標

|x^2-1|-k=0有四個實根
在方程式上來看，是求y=∣x^2-1∣與y=k的聯立解，其中，前者為上一題的圖形，後者為水平線
在幾何上來看，就是求上一題的圖形與水平線的交點

因為有四個實根，幾何上就是四個交點坐標，也就是拿著直尺，水平移動，看什麼時候會跟上一題的直線有4個交點

結論：要把一個式子看成兩個聯立方程式，是一種解題技巧，請記下來！

2014-11-17 09:17:18 補充：
回答補充的問題：
觀念：∣甲∣+∣乙∣=1，因為絕對值必>=0，所以限制0<=∣甲∣<=1和0<=∣乙∣<=1，
理由：若是超過1，另一個需要負數才能抵銷變成等於1，但絕對值不能是負數

題目：|x-1|+|y-1|=1
限制了，0<=|x-1|<=1，0<=|y-1|<=1
推得，-1<=x-1<=1，-1<=y-1<=1
推得，0<=x<=2，0<=y<=2
所以，x、y均大於或等於0，也就只能畫第一象限的圖
準確來說，只能畫2*2的方塊內的圖

2014-11-17 09:19:58 補充：
13樓打錯

因為有四個實根，幾何上就是四個交點坐標，也就是拿著直尺，水平移動，看什麼時候會跟上一題的直線有4個交點
　　　　　　　　︿︿
是跟上一題的圖形有４個交點
　　　　　　︿︿

2014-11-17 15:36:31 補充：
最後的題目
用進哥的方式
兩次對稱最快
你可以寄個通知
請他來回答吧！

以下是個人意見^_^"

會寫在意見欄的人
通常不在意點數
比較在意的是
是不是真的有幫助到「真正需要幫助」的人

別太在意點數

2014-11-18 08:58:30 補充：
17、18樓是對的

學到高三時，應該會有以下觀念：
(新版本不確定，舊的版本有，曝露年紀了，哈哈)

當x用-x取代時，方程式結果不變，其圖形是對稱於y軸
舉例：若x=2與x=-2時，方程式結果不變，即y值不變，所以(2，3)對稱於(-2，3)，均為圖形上的點

當y用-y取代時，方程式結果不變，其圖形是對稱於x軸
舉例：若y=3與y=-3時，方程式結果不變，即x值不變，所以(2，3)對稱於(2，-3)，均為圖形上的點

舉例
∣x∣+y=1的圖
當x>=0，為x+y=1的圖
當x<=0，為-x+y=1的圖
而x+y=1與-x+y=1對稱於y軸

題目 大家都解說完了，那來給個小建議
a<=x<=b， | x-a+b/2 | <=b-a/2
x-a+b/2 會讓人誤解為 x - a + (b/2)
寫成 x - (a+b)/2　比較好
同樣 b-a/2 會誤解為 b - (a/2)
寫成 (b-a)/2 就不會有問題

真的，比這裡的學生用功多了～
我來幫忙最後一題吧：| X^2 -1 | =K

X^2 -1 = K或-K
X^2= K+1或-K+1
X= 根號(K+1)、- 根號(K+1)、根號(-K+1)、- 根號(-K+1)

依題意要求
我們必須使得以上四根為實數而且彼此互異

四根為實數則根號內的數>=0
最後整理得-1<=K<=1

四根互不相同
最後整理得K不可是-1, 0, 1

於是-1<1且K不是0

在這裡先感謝自由自在大大的小幫忙，經您的一番說明，我大致可以了解這個式子的意思了，它的意思大概就是說當x在a和b之間不論x怎麼移動都永遠不會大於b到a的一半，項多是剛好到了到了a和b之間的中點而以那這時的|x - (a+b)/2|就會等於 (b-a)/2，不知道我這樣的理解是否正確呢。

2014-11-15 22:49:56 補充：
在這裡也要感謝進哥的小幫忙，聽您這麼一講解，我大致可以了解題目的意思了，那就是如果我不用對稱的方式，用最笨的方式就可以把 |x|+|y|=1這個式子分別寫成
x+y=1，-x+y=1，-x+(-y)=1，x+(-y)=1，然後分別作這四個直線方程式的圖型，自然就會得到一個四邊型了，我剛剛作這一下這個題目我作出了四個點分別是(0，1) (-1，0) (0，-1) (1，0)。不知道我的這樣理解是否正確呢。

2014-11-16 15:09:54 補充：
平常不用功 到這假用功大大您好，您講解我還是不明白，我們先從y=|x^2-1|來討論好了，這裡參考書分成二部份
(1)x^2-1>=0即x>=1或x<=-1，這裡我看得懂但參考將它寫成y=x^2-1，這裡我就不知道它是怎麼導出的了
(2)x^2-1<=0即1<=x<=1，一樣這裡我看得懂但參考將它寫成y=-x^2+1，一樣這裡我也是不知道它是怎麼導出來的
至於方程|x^2-1|=k我更是完全不懂參考講的k是什麼東西，怎麼就憑空出現了一個k了呢

2014-11-17 21:28:05 補充：
快樂阿呆您好，不好意思喔！我想在請問您一下，如果按照您在14樓的講解那是不是我提出來的四個絕對值的直線方程式應該是如下的方式求x，y的範圍呢
1. |x|+|y|=1==> |x|<=1所以-1<=x<=1同理-1<=y<=1

2. |x-1|+|y-1|=1==> |x-1|<=1，-1<=x-1<=1，0<=x<=2 同理0<=y<=2

3.|x|/2+|y|/3=1==> 3|x|+2|y|=6，3|x|<=6，|x|<=2所以-2<=x<=2同理-3<=y<=3

2014-11-17 21:34:06 補充：
4. |x+1|/2+|y-2|/3=1 ==>3|x+1|+2|y-2|=6，3|x+1|<=6，|x+1|<=2所以-3<=x<=1同理-1<=y<=5，不是我這樣的理解是否正確呢，不好意思，我的頭腦比較笨一點。

2014-11-18 10:18:10 補充：
謝謝大家，真是感激不盡