國中特殊解法的問題題目

1/(1*2*3)+1/(2*3*4)+1/(3*4*5)+...+1/(98*99*100)
Sol
設2/[n(n+1)(n+2)]=a/n+b/(n+1)+c/(n+2)
2=a(n+1)(n+2)+bn(n+2)+cn(n+1)
當n=－1
2=b*(－1)*1
b=－2
當n=－2
2=c*(－2)*(－1)
c=1
當n=－3
2=a*(－2)*(－1)
a=1
2/[n(n+1)(n+2)]=1/n－2/(n+1)+1/(n+2)
So
2/(1*2*3)+2/(2*3*4)+2/(3*4*5)+...+2/(98*99*100)
=(1/1－2/2+1/3)+(1/2－2/3+1/4)+(1/3－2/4+1/5)+(1/4－2/5+1/6)+….
+(1/95－2/96+1/97)+(1/96－2/97+1/98)+(1/97－2/98+1/99)+(1/98－2/99+1/100)
=(1/1－1/2)+(－1/99+1/100)
=4949/9900
1/(1*2*3)+1/(2*3*4)+1/(3*4*5)+...+1/(98*99*100)
=4949/19800

1/(1x2x3) + 1/(2x3x4) + 1/(3x4x5) +...+ 1/(98x99x100)=(1/2)((1/(1x2)–1/(2x3))+(1/(2x3)–1/(3x4))+(1/(3x4)–1/(4x5)) +…+(1/(98x99)–1/(99x100)))=(1/2)(1/(1x2) – 1/(99x100))=(1/2)(1/2 – 1/9900)=(1/2)(4950-1)/9900=4949/19800

妳是不是太鹹啦？
頗ㄏ

2014-11-13 11:05:09 補充：
原式= Σ(n=2~98) 1/ (n-1)n(n+1)
我們先來分析樣本型態：1/ (n-1)n(n+1)

在分數的"差"運算中我們知道：
若a<b，則1/a-1/b
= (b-a)/ab
= (b-a)(1/ab)
反之1/ab = (1/a-1/b) /(b-a) ~ 式一

於是1/ (n-1)n(n+1)，by式一得
= [1/(n-1) -1/n(n+1)] / [n(n+1)-(n-1)]，again by式一得
= { 1/(n-1) -[1/n -1/(n+1)] } /(n^2+1)
= [ 1/(n-1) +1/(n+1) -1/n ] /(n^2+1)

n= 2~98，以下是表示意思不是實際上的值
→[ (1/1+1/2+1/3+...+1/97) +(1/3+1/4+1/5+...+1/99) -(1/2+1/3+1/4+...+1/98) ]
/(n^2+1)，提出共同項
→[ 3(1/1+1/2+1/3+...+1/99)-(1/98+1/99)-(1/1+1/2)-(1/1+1/99) ] /(n^2+1)
→[ 3Σ(n=1~99)1/n - 2Σ(n=1,99)1/n - Σ(n=2,98)1/n ] /(n^2+1)
→Σ(n=1~99)3/[n(n^2+1)] -Σ(n=1,99)2/[n(n^2+1)] - Σ(n=2,98)[n(n^2+1)]

以上是我目前能想到的做法
基本上Σ1/n沒有公式可以代的話
(我在上一題告訴過你的)
Σ1/n^(?)也不會有公式可以代
而Σ1/(n^3+n) = Σ(1/n)(1/n^2+1)
型如Σ(1/n)(1/n^2)
應該也不會有通用公式可以代
可能也要硬算了