數學說明白

若n個數的公因數=d，則表示這n個數都可提出因數d。

若n個數的最大公因數=d，則表示這n個數都可提出因數d 且 提完d後就沒有其他大於1的公因數可提。


因此用短除法求最大公因數的作法，就是不斷提這n個數都有的大於1的因數(即公因數)，直到不能再提，則這些公因數合在一起(乘積) 就是 最大的公因數了。
這就是為什麼短除法在提因數時，必須是所有數的公因數才能提的原因。



若n個數的公倍數=m，則表示m是這n個數的倍數。

若n個數的最小公倍數=m，則表示m是這n個數的倍數中最小的正整數。
(根據此定義，負數、0不可能是最小公倍數。而之所以這麼定義，主要是因為讓0和負數當最小公倍數沒有實際的意義。)


底下以例子說明，為什麼短除法求最小公倍數時，會在提完所有數的公因數後，再提部分數的公因數：

(1)給定三數da、db、dc，那麼d*abc就是這三數的公倍數，而且會比da*db*dc小。
(2)給定三數da、db、C，那麼d*abC就是這三數的公倍數，而且會比da*db*C小。

這就是為什麼用短除法找最小公倍數時， 後面的作法會只提部分數的公因數的原因，因為這樣找出來的數的確是公倍數，而且還更小。等到任2數間都沒有大於1的公因數時，也就不能再更小了，因此此時的公倍數就是最小公倍數了。

2014-11-13 07:07:06 補充：
A1：上面的回答中有提到，只要是「大於1的公因數」就可提。像400和600，你可以直接先提100，再提2出來，不能再提後就得到最大公因數=100*2=200。

A2：像400,600,1500的最小公倍數時，通常先提100把大家都重複的部分先提出來，剩4,6,15，於是可以得到一個公倍數100*(4*6*15)。而4和6又可提2出來，剩2,3,15，又得到另一『更小』的公倍數100*2*(2*3*15)。然後3和15又可提3，剩2,1,5，又有『更小』的公倍數10*2*3*(2*1*5)。因剩下的2,1,5不能再兩兩提公因數了，所以公倍數10*2*3*(2*1*5)就是最小公倍數了。

ㄏ???????????

好像沒課本可以讀一樣
頗ㄏ