求函數之最小值&物理意義

f(x)= √[(x+2)^2+1] - √[(x-2)^2+16]
f(x)= √{ [x-(-2)]^2 + (0-1)^2 } - √[ (x-2)^2 + (0-4)^2 ] ~ (一)

在平面座標系上標記A點(-2,1)、B點(2,4)、C點(x,0)、C'點(x',0)
C點為x軸上的動點
C'點為通過A、B兩點的直線與x軸的交點

我們知道√[ (X1-X2)^2 + (Y1-Y2)^2 ]就是點(X1,Y1)和點(X2,Y2)的距離
回頭看(一)
那麼f(x)就是(x,0)到(-2,1)的距離 - (x,0)到(2,4)的距離
也就是CA-CB
那麼求f(x)的最小值
就等於求CA-CB的最小值
既然CA-CB = -(CB-CA)
我們也可以說就是求-(CB-CA的最大值)
總而言之所求= -(CB-CA的最大值) ~ (二)

接著我們來分析CB-CA的值：
(1)如果C點就是C'點
則CB-CA =AB

(2)如果C點不是C'點
則在△ABC中
∵任意兩邊長的差 < 第三邊的長
∴CB-CA <AB

根據(1)、(2)我們得
CB-CA <=AB
所以CB-CA的最大值就是AB
回頭看(二)
AB = √[ (-2-2)^2 + (1-4)^2 ] = 5

ANS：-5

f(x)=√[(x+2)^2+1] - √[(x-2)^2+16]的最小值-5