數學問題~~解x哦

(x^2+1)(1+x*cosx*cosx) = 2x^2
(x^2+1)(1+ x * cos^2 x) = 2x^2
令 f(x) = (x^2+1)(1+ x * cos^2 x) - 2x^2
則原等式之解, 即為 f(x) = 0 的解.
此解顯然只能用數值分析的方式探討,而且有很多個解.

為了簡化起見,僅探討 -100 < x < 100 範圍內的可能解.
並將此範圍以整數為邊界,分割成200個區間:
(-100,-99) , (-99,-98) , ..... , (99,100)
因為f(x)為連續函數,利用勘根定理可知是否這些區間有解:
若 f(x-1) * f(x) < 0 , 則區間 ( x-1 , x )有解.

以下用Excel畫出f(x)之圖形:

圖片參考：https://s.yimg.com/rk/AC09299269/o/1019676120.png

再計算出解存在的區間:

圖片參考：https://s.yimg.com/rk/AC09299269/o/1771158262.png

以下僅列出有解的那幾段:

圖片參考：https://s.yimg.com/rk/AC09299269/o/1247853092.png


圖片參考：https://s.yimg.com/rk/AC09299269/o/1609667135.png


圖片參考：https://s.yimg.com/rk/AC09299269/o/37136567.png


圖片參考：https://s.yimg.com/rk/AC09299269/o/669491015.png


圖片參考：https://s.yimg.com/rk/AC09299269/o/1434263531.png


歸納如下:
( -100, 0 ) 無解.
( -1, 0 ) 至少有1解.
( 0, 100 ) 至少有26個解.

若要計算各個整數區間 ( x-1 , x ) 解的更精確的值,
例如要計算( -1, 0 )解的更精確的值,
因為解很密集,所以不建議用牛頓法;
反而用二分逼近法會比較適合此題.

以上完整的Excel檔, 請參考:
http://www.FunP.Net/620636

2014-11-14 16:58:38 補充：
以下示範計算更精確的值,以區間( -1, 0 )存在的解為例:
先繪出 y = f(x) 在 ( -1, 0 ) 的圖形,請參考以下網址:
http://imgur.com/TYfjwhT
由圖形可看出( -1, 0 )僅有一解,且在( -0.7, -0.6 )中.

2014-11-14 17:12:05 補充：
確定( -1, 0 )僅有一解後,接著用二分逼近法找更精確的解:
f(-0.7) ≒ -0.10014 < 0 , －
f(-0.6) ≒ 0.08416 > 0 , ＋
f(-0.65) ≒ -0.00848 < 0 , －
f(-0.65)*f(-0.6) < 0 , 故解在(-0.65,-0.6).

f(-0.65) －
f(-0.6) ＋
f(-0.625) ≒ 0.03777 > 0 , ＋
f(-0.65)*f(-0.625) < 0 , 故解在(-0.65,-0.625).

2014-11-14 17:22:24 補充：
f(-0.65) －
f(-0.625) ＋
f(-0.6375) ≒ 0.01462 > 0 , ＋
解在(-0.65,-0.6375).

f(-0.65) －
f(-0.6375) ＋
f(-0.64375) ≒ 0.00606 > 0 , ＋
解在(-0.65,-0.64375).

f(-0.65) －
f(-0.64375) ＋
f(-0.646875) ≒ -0.002710 < 0 , －
解在(-0.64375,-0.646875).

2014-11-14 17:29:50 補充：
f(-0.646875) －
f(-0.64375) ＋
f(-0.6453125) ≒ 0.000177 > 0 , ＋
解在(-0.646875,-0.6453125).

反覆用此方法,即得更精確的值...

2014-11-15 20:56:47 補充：
抱歉,有一行打錯了:

歸納如下:
( -100, 0 ) 無解.

應該更正為:
( -100, -1 ) 無解.