國中數學題目

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##### 第一題 #####
如果五個面都可以被正方形鋪"滿"，那麼正方形的邊長必須是五個面所有邊的因數，否則會有突出或缺漏的部分，因此正方形邊長是五個面所有邊長的公因數

設正方形的邊長為A公分，而五個面的邊長只有三種：5000、2500、225公分，所以A是三數的公因數

需要的正方形磁磚數量 = 五個面的面積和 / 正方形面積
(底面+四個立面)= { 5000*2500 + 2[ (5000+2500)*225 ] } /A^2
= (1/A^2 )(5000*2500 + 2*225*7500)
(提出因數)= (50*2500/A^2)(100+9*3)
= 50*127*2500/A^2

題目要求最少塊正方形磁磚，那就是求50*127*2500/A^2的最小值
→A^2最大
→A最大

因此身為公因數的A就必須是最大公因數，意即A= (5000,2500,225) =25
所求為50*127*2500 /A^2
= 50*127*2500 /25^2
=25400

ANS：25400塊

##### 第二題 #####
此人中獎的金額是100、200、500、1000元四種。
假設500元中A張，則200元中A-1張，100元中(A-1)^2 -5張，A為正整數
整理得100、200、500、1000元分別中(A-1)^2 -5、A-1、A、2張

於是33= (A-1)^2 -5 +(A-1) +A +2
整理得A^2=36，A=6(負不合)
所以100、200、500、1000元分別中20、5、6、2張

所求= 獎金 - 買彩券的錢
= (100*20+200*5 +500*6 +1000*2) -100*100
提出因數= 500(4+2+6 +2*2 -20)
= -2000

ANS：賠2000元

##### 第三題 #####
我們可以用數線來看，把西端點坐標設為0，東端點設為2000
則路燈的坐標是96+100A，樹木的坐標是146+150B

有變數產生就要取好變數範圍：
96+100A <=2000，A= 0, 1, 2, 3...19
146+150B <=2000，B= 0, 1, 2, 3...12

而兩側同時有路燈和樹木就代表兩者的坐標一樣，意即96+100A = 146+150B
→100A+96 = 150B+146
→100A-50 =150B
→2A-1 =3B
3B= 2A-1

A= 0, 1, 2, 3...19
→2A-1= -1, 1, 3, 5...37
3B= 3, 9, 15, 21, 27, 33
由(33-3)/6 +1知共6個可能的B值

ANS：6處

##### 第四題 #####
假設某人最後面向南方，表示他轉了2+4A次90°，而且他的號碼在1~20中有4A+2個因數

A=0，有兩個因數，恰為質數：3, 5, 7, 11, 13, 17, 19
A=1，有六個因數：12, 18

ANS：9人

##### 第五題 #####
先撇開題目來分析一些事情

假設經過了M分鐘以後，分針共走了A°，短針共走了a°
而我們知道經過了60分鐘以後，分針共走了360°，時針共走了360°/12，所以
(1) A：a = 360：(360/12) = 12：1，A=12a
(2) 60：360 = M：A，1：6 = M：12a，M=2a

所以說，經過了2a分鐘後，分針共走了12a°，時針共走了a°
分析的目的是要純化變數種類。現在我們回到題目

從第一次兩針夾成110°時到第二次兩針夾成110°時
兩針的右夾角從110°→(360-110)°，即110°→250°
而這段時間兩針右夾角的變化就是兩針走過的角度差
意即250-110 = 12a -a，a= 140/11
經過的時間為2a= 280/11分鐘

ANS：280/11分鐘

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