國9二段數學圓形11及12題請高手解題

我們就用(圖八)來做吧。不過有點小，有必要的話可以在計算紙上畫一個比較大的。

由上頂點開始依照逆時針方向標記三頂點為A,B,C；三圓心為A',B',C'。
連接圓心與對應的頂點；連接圓心與其他圓心；每個圓心對三角形兩邊做小垂線。
六個垂足的符號，從頂點A開始，依照逆時針方向，分別為A1,B1,B2,C1,C2,A2。
請不厭其煩地繼續標記線段長：AB,BC,AC = 400,300,500；AA1=AA2=a；BB1=BB2=b；CC1=CC2=c；A'B',B'C',A'C' = 400-a-b, 300-b-c, 500-a-c。

我們來觀察這六個小三角形(△AA1A'、△AA2A'等等)。每個頂點附近都有兩個小三角形形成的區域，恰好都是死角區域+扇形。那麼總體而言：
六個小三角形面積和 = 死角面積 + 三個扇形面積和。

三個扇形面積和恰好就是那個圓的面積25π(有興趣請看後面的證明)。而六個小三角形面積和(每個都是底*高/2)就是5(a+b+c)。所以：
死角面積 = 六個小三角形面積和 - 三個扇形面積和 = 5(a+b+c) - 25π。

其實b很明顯是5(很簡單不用證)。所以我們再稍微簡化上式為：

所求= 死角面積 = 六個小三角形面積和 - 三個扇形面積和 = 5(a+c+5) - 25π。

∵△ABC ~ △A'B'C'(有興趣請看後面的證明)
∴AB:BC:AC = A'B':B'C':A'C'
400:300:500 = (400-a-b):(300-b-c):(500-a-c)
4:3:5 = (395-a):(295-c):(500-a-c)

令4k= 395-a；3k= 295-c；5k= 500-a-c
由前兩式得a= 395-4k；c= 295-3k
代入末式得5k= 500 -(395-4k) -(295-3k)
-500+395+295 = (-5+4+3)k
k=95

所求為5(a+c+5) - 25π
= 5[ (395-4k)+(295-3k)+5 ] - 25π
(395-4k)+(295-3k)的部分不要把k值代入來計算
剛剛求k值時有一條等式是：5k= 500 -(395-4k) -(295-3k)
所以(395-4k)+(295-3k)就是500-5k=25
繼續5[ (395-4k)+(295-3k)+5 ] - 25π
= 5(25+5) - 25π
= 150 - 25π

2014-11-11 11:50:17 補充：
先證明△ABC ~ △A'B'C'：

做A點那一塊。四邊形AA1A'A2內角和360° = ∠A+90° +扇形的圓心角 +90°
圓A'的圓心角360° = ∠B'A'C' +90° +扇形的圓心角 +90°

顯然∠A=∠B'A'C'。同理∠B=∠A'B'C'。
於是由AA相似知△ABC ~ △A'B'C'。

2014-11-11 11:57:02 補充：
證明：三個扇形面積和恰好就是那個圓的面積。

標記三個扇形的圓心角為∠1,∠2,∠3
三個四邊形AA1A'A2,BB1'B'B2,CC1C'C2內角和的總和
3*360° = (∠A+90°+∠1+90°) + (∠B+90°+∠2+90°) +(∠C+90°+∠3+90°)
12*90° = (∠A+∠B+∠C) + 6*90° + (∠1+∠2+∠3)
∠A+∠B+∠C = 180° = 2*90°
所以∠1+∠2+∠3 = (12-2-6)*90° = 360°

顯然三個扇形的圓心角總和 = 一個圓的圓心角
那麼三個扇形面積和恰好就是那個圓的面積

假設這大三角形是ABC，AB＝4公尺，BC＝3公尺，AC＝5公尺，所以此三角形是一直角三角形，∠B＝90° 。假設三小圓的圓心分別是Oa、Ob及Oc，且Oa的圓與邊缐AB, AC 分別相切於P, Q；Ob的圓與邊缐AB, BC 分別相切於R, S；Oc的圓與邊缐BC, AC 分別相切於T, U。則ΔAPOa≅ΔAQOa；ΔCTOc≅ΔCUOc，設∠PAOa＝∠QAOa＝α，則 tan(2α)＝3/4==> 2 tan α / (1－tan²α)＝3/4==> 8 tan α＝3－3 tan²α==> 3 tan²α ＋8 tan α－3＝0==> (3 tan α－1)(tan α＋3)＝0==> tan α＝1/3 或 -3 (負值不合)所以 POa/PA＝1/3，因 POa＝5公分，所以 PA＝15公分設∠TCOc＝∠UCOc＝β，則 tan(2β)＝4/3==> 2 tan β / (1－tan²β)＝4/3==> 3 tan β＝2－2 tan²β==> 2 tan²β ＋3 tan β－2＝0==> (2 tan β－1)(tan β＋2)＝0==> tan β＝1/2 或 -2 (負值不合)所以 TOc/TC＝1/2，因 TOc＝5公分，所以TC＝10公分
所以斜線區域面積＝四邊形PAQOa＋四邊形RBSOb＋四邊形TCUOc－一小圓面積＝5x15＋5x5＋5x10－25π＝150－25π (平方公分)
(約 71.64 平方公分)

首先，請先自行想像一下：
將三個角連同圓的部分剪下，以三個圓的圓心為中心重疊。
會得到一個與大三角形相似的圖形，
三邊比為3：4：5，內切圓的半徑為5。

PS：要證明的話，請將三圓心連線並畫出與各邊垂直的半徑，
會得到很多的三角形與長方形，
經過簡單的加減可得證三個頂角可剛好拼在一起。

如果常做題目的人看到345的直角三角形應該可以馬上反應內切圓半徑1，
所以反推，內切圓半徑5的時候，邊長分別為：15，20，25。

PS：證明假設三邊長為3r，4r，5r
三角形面積 = 三角形周長 X 內切圓半徑 / 2
r=5

則斜線面積就等於三角形面積扣掉中間內切圓面積：
15 x 20 / 2 - 5 x 5 x 拍 = 150 - 25拍